Является ли ковариационной функцией

[ShMaxG]

_hum_ в сообщении #517706 писал(а):

ShMaxG в сообщении #517693 писал(а):
имеет односторонние производные во всех точках

ограниченные

В смысле конечные? Т.е. в каждой точке односторонние производные существуют и не принимают бесконечных значений?

[_hum_]

Да, сейчас глянул условие Дини, там достаточно именно конечности (ограниченность более жесткое условие).

[ShMaxG]

Ага... спасибо еще раз!

[MaximVD]

ShMaxG в сообщении #517562 писал(а):

Ну это все хорошо, вот только в Миллере, "Теория случайных процессов", ни про условия Дини, ни про конечность односторонних производных, речи не идет. Там написано просто: если имеем абсолютно интегрируемую непрерывную ковариационную функцию, то спектральная плотность существует и определяется обратным преобразованием Фурье.

Вообще говоря, выполнения условия Дини и не надо. Пусть $F$ - оператор прямого преобразования Фурье, а $\widehat{F}$ - оператор обратного преобразования Фурье. Тогда, если $\varphi \in L_1(\mathbb{R})$ (т.е. абсолютно интегрируема на все оси) и $F( \varphi ) \in L_1(\mathbb{R})$, то $\widehat{F}(F(\varphi))$ совпадает с $\varphi$ почти всюду. То есть, если функция $\varphi$ абсолютно интегрируема на всей оси, и её преобразование Фурье ($F(\varphi)$) также абсолютно интегрируемо на всей оси, то применив обратное преобразование Фурье к функции $F(\varphi)$ вы получите функцию, которая совпадает с $\varphi$ почти всюду.

[ShMaxG]

MaximVD
Ммм, это интересно. А можно какую-нибудь ссылочку на источник?

В таком случае получается, что если функция $ \[R\left( \tau \right)\]$ абсолютно интегрируема, то функция $\[\bar R\left( \tau \right) = \int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {{e^{i\tau \nu }}\left( {\frac{1}{{2\pi }}\int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {{e^{ - i\tau \nu }}R\left( \tau \right)d\tau } } \right)d\nu } \]$ совпадает с функцией $\[{R\left( \tau \right)}\]$ почти всюду. Но можно ли в этом случае говорить, что $\[s\left( \nu \right) = \frac{1}{{2\pi }}\int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {{e^{ - i\tau \nu }}R\left( \tau \right)d\tau } \]$ является спектральной плотностью? Ведь именно $\[R\left( \tau \right)\]$ должна быть равна интегралу $\[\int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {{e^{i\tau \nu }}s\left( \nu \right)d\nu } \]$, а не какая-то другая функция, почти всюду совпадающая с $\[R\left( \tau \right)\]$?

[MaximVD]

ShMaxG в сообщении #517769 писал(а):

Ммм, это интересно. А можно какую-нибудь ссылочку на источник?

Например, Рудин "Функциональный анализ", глава 7 "Преобразование Фурье", теорема 7.7. (там сразу для многомерного случая рассматривается)

К сожалению, с теорией случайных процессов я не знаком, поэтому помочь с вопросом о спектральной плотности не могу.

[ShMaxG]

MaximVD
В английской википедии написано, что если $\[\varphi \in {L_1}\left( \mathbb{R} \right)\]$ и $\[F\left( \varphi \right) \in {L_1}\left( \mathbb{R} \right)\]$, то $\[\hat F\left( {F\left( \varphi \right)} \right)\]$ совпадает с $\[\varphi \]$ почти всюду. Но если при этом функция $\[\varphi \]$ является непрерывной, то равенство выполнено всюду. Вам случаем не знаком этот факт и где можно было бы его в книгах найти?

[MaximVD]

ShMaxG в сообщении #517821 писал(а):

Но если при этом функция является непрерывной, то равенство выполнено всюду.

Это легко доказать, если знать, что прямое преобразование Фурье (и обратное тоже) от интегрируемой функции это непрерывная функция, что тоже доказывается очень просто.
Итак, функция $\widehat{F}(F(\varphi))$ - непрерывна и при этом равна почти всюду другой непрерывной функции - $\varphi$. Отсюда, предположив что они не равны всюду и воспользовавшись непрерывностью, нетрудно прийти к противоречию.

[ShMaxG]

Спасибо!

А правда, что если функция $\[f \in {L_1}\left( \mathbb{R} \right)\]$, то существует непрерывная и ограниченная функция $\[s\left( \omega \right)\]$ такая, что

$$\[f\left( t \right) = \int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {{e^{i\omega t}}s\left( \omega \right)d\omega } \]$$

Если так, то будет ли в общем случае функция $\[s \in {L_1}\left( \mathbb{R} \right)\]$?

[MaximVD]

ShMaxG в сообщении #517842 писал(а):

А правда, что если функция $\[f \in {L_1}\left( \mathbb{R} \right)\]$, то существует непрерывная и ограниченная функция $\[s\left( \omega \right)\]$ такая, что

$$\[f\left( t \right) = \int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {{e^{i\omega t}}s\left( \omega \right)d\omega } \]$$

Если так, то будет ли в общем случае функция $\[s \in {L_1}\left( \mathbb{R} \right)\]$?

Такого факта я не знаю. Если $s \in L_1(\mathbb{R})$, то, как я говорил выше, функция

$$ \psi(t) = \int_{-\infty}^{+\infty} e^{i \omega t} s(\omega) d\omega $$

непрерывна. Поэтому, если взять в качестве $f$, скажем, характеристическую функцию интервала, то $s \in L_1(\mathbb{R})$ удовлетворяющей требуемому равенству вы не найдёте. Значит, если и существует нужное $s$, то оно точно не из $L_1(\mathbb{R})$.

[ShMaxG]

Ну ладно... в общем итог такой.

Достаточное условие для того, чтобы функция $\[R\left( \tau \right)\]$ была ковариационной функцией некоторого непрерывного в с.к. стационарного случайного процесса.

Лемма.
Если функция $\[\varphi \in {L_1}\left( \mathbb{R} \right)\]$, ее преобразование Фурье $\[F\left( \varphi \right) \in {L_1}\left( \mathbb{R} \right)\]$ и $\[\varphi \]$ -- непрерывна всюду, то $\[\hat F\left( {F\left( \varphi \right)} \right) = \varphi \]$ всюду, где $\[{\hat F}\]$ - обратное преобразование Фурье.

Достаточное условие.
Если функция $\[R\left( \tau \right)\]$ является непрерывной и абсолютно интегрируемой и ее преобразование Фурье $\[s\left( \nu \right) = \frac{1}{{2\pi }}\int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {{e^{ - i\nu \tau }}R\left( \tau \right)d\tau } \]$ является неотрицательной и абсолютно интегрируемой функцией, то (согласно Лемме) $\[R\left( \tau \right) = \int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {{e^{i\nu \tau }}s\left( \nu \right)d\nu } \]$, откуда (согласно теореме Хинчина) следует, что $\[R\left( \tau \right)\]$ является ковариационной функцией некоторого непрерывного в с.к. стационарного случайного процесса.

-- Вт дек 20, 2011 23:22:33 --

По-крайней мере такое условие описано в книжке по случайным процессам у Миллера, и действительно, никаких условий Дини и односторонних производных. Но используется теорема высокого порядка.