Вот, насколько меня сегодня хватило... Абстрагироваться от отображений не смог - иначе у меня не получается определить полноту. То, что написано раньше, можно забыть. Здесь и далее для ясности отказываюсь от обозначений

, заменяя их на

. Индексы

означают в точности "любые, возможно не равные, элементы множества".
Итак, будем рассматривать неполную полугруппу

отображений бесконечного множества

в множество

(мне достаточно рассмотреть счетное

). Элементы этой полугруппы будем записывать в виде

. Групповая операция суперпозиции будет записываться в прямом порядке:

.
Определение 1
Полугруппу назовем неполной, если на множестве

существуют такие отображения, которые не принадлежат множеству

. Обозначим множество таких отображений через

, имея ввиду, что

, а

представляет собой множество всех отображений множества

в себя. Если мы не уверены в принадлежности каких-либо отображений, будем обозначать их

.
Определение 2
Отсутствующими, или выброшенными, назовем все элементы

.
Определение 3
Будем говорить, что полугруппа разбивается на два непересекающихся
подмножества 
и

в том случае, когда для любых

, любых

и любых

справедливо следующее: если

, то

; если

, то

.
Определение 4
Будем говорить, что полугруппа разбивается на две
подполугруппы, если каждое из множеств

и

в отдельности замкнуто относительно групповой опрерации. То есть, если

, то

.
Определение 5
Будем говорить, что элемент

преобразуется в элемент

(или, что то же самое, - что элемент

выводится из

), если существует такой элемент

, что

.
Исходные условия
Известно, что некоторый элемент

исходной неполной полугруппы

не преобразуется и не выводим из другого элемента

этой полугруппы в смысле Определения 5.
Вопрос
Каково будет разбиение полугруппы

в смысле Определения 3? (И имеет ли задача решение вообще, потому как, например, в циклической группе такое невозможно).
Может стоит подступиться с другой стороны? Взять сперва полную полугруппу

, выкинуть ее произвольный элемент, а так же все, которые в него преобразуются (в смысле Определения 5)? Не будет ли полученная полугруппа искомой

?
Вопрос о разбиении в смысле Определения 4 - это другая задача, но вроде тоже интересная
Вот, надеюсь, ничего не напутал...