Несколько трудных задач по теории групп

[Imaginarium]

Здравствуйте, уважаемые коллеги.

Прошу вашей помощи в решении нескольких задач по теории групп. Сами задачи- для подготовки к контрольной работе. Вся сложность состоит в том, что никакого теоретического материала для них не давалось, и я прошу совета в том как разобрать задачи и что читать для их решения.
Мое образование в области теории групп ограничено теоремой о гомоморфизмах групп (схолией)- это была последняя тема.

Итак, сами задачи (дословное цитирование):

5) Используя лемму Бернсайда решить задачу:
круг разбит на 110 секторов, каждый из которых покрашен одним из шести цветов. Сколькими способами можно составить такую мозаику с точностью до поворотов круга?

6) Записать группу

$$\mathbb Z^*_1_1 $$

(множество всех классов вычетов, взаимопростых с 11) как прямое произведение примарных подгрупп.

7) Записать группу

$$\mathbb Z_4_0 $$

как прямую сумму примарных подгрупп, представить класс вычетов, порожденный числом 3 как элемент прямой суммы.

10) Пусть G- группа самосовмещений правильного шестиугольника. Три его вершины красят в синий цвет, остальные- в красный. Найти стабилизатор раскраски, у которой в синий цвет покрашены вершины с номерами 1, 2, 4.

11) С помощью леммы Бернсайда найти число существенно разных раскрасок вершин шестиугольника.

Заранее спасибо за внимание!

[Sonic86]

5), 11) Лемма Бернсайда есть в книге Богопольского Введение в теорию групп. Вот только книга страшная, а хороший источник я забыл
Вот более-менее хорошая ссылка (но лучше книгу):
http://neerc.ifmo.ru/mediawiki/index.ph ... 0%B8%D0%B9

10) Это подзадача на применение леммы Бернсайда.

6) Воспользуйтесь тем, что $\mathbb{Z}_m^{\times} \cong \mathbb{Z}_{\varphi (m)}^{+}$. Аддитивная группа вычетов - обычная циклическая группа. Разложите ее в произведение примарных групп (вообще, Ваша группа только одним способом раскладывается).

6), 7) Примарная группа - это просто:
http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D1% ... 0%BF%D0%B0
Попробуйте установить изоморфизм, если не получится - пишите.

[Imaginarium]

Спасибо большое, приступил к изучению.

[bnovikov]

Про лемму Бернсайда лучше читать в книгах по комбинаторике, в них подробнее.

Хороша статья де Брёйна "Теория перечисления Пойа" в сборнике "Прикладная комбинаторная математика", М., 1962.