Построить гомоморфизм групп

[renzzo]

Здравствуйте! Задание следующее:
Укажите какой-нибудь нетривиальный гомоморфизм, найдите его ядро и образ
а) группы $Z_{16}$ в группу $Z_8$, так же описать факторгруппу группы $Z_{16}$ по ядру
б) группы $H_{18}$ в группу $H_{15}$
Сделал только пункт б с циклическими подгруппами, помогите, пожалуйста, с первым, т.к. не имею понятия вообще как его делать, да и вообще с этими темами не дружу :)

Как сделал б:
$H_{18} \rightarrow H_{15}=\{e,b,b^2,...,b^{14}\}$
$ImF=\{e_1,b^5,b^{10}\}$
$f_1(a)=b^5$
$f_1(a^2)=b^{10}$
$f_1(a^3)=b^{15}=e_1$

$f^{-1}_1(e_1)=kerf_1=\{e,a^3,a^6,a^9,a^{12},a^{15}\}$
$f^{-1}_1(b^5)=\{a,a^4,a^7,a^{10},a^{13},a^{16}\}$
$f^{-1}_1(b^{10})=\{a^2,a^5,a^8,a^{11},a^{14},a^{17}\}$

[Sonic86]

Пункт а) легкий. $\mathbb{Z}_m$ - циклическая группа порядка $m$, каждому делителю $d \mid m$ соответствует подгруппа порядка $d$. Как строить подгруппы конечной циклической группы, Вы наверняка знаете. И строить циклическую группу по подгруппе и фактору тоже легко: $\gcd (a,b)=1 \Rightarrow \mathbb{Z}_a^+ \times \mathbb{Z}_b^+ \cong \mathbb{Z}_{ab}^+$
Про кольцо $\mathbb{Z}_m$ можно почитать в Винберге Курс алгебры, в самом начале (кольца вычетов).