Задача на разбиение множества

[Ktina]

1) Можно ли множество всех конечных десятичных дробей разбить на а) два; б) три
класса так, чтобы ни в один из классов не попали два числа, разность которых —
степень десятки с целым (не обязательно натуральным!) показателем? (А.Лейдерман.)

2) Можно ли то же самое проделать с множеством всех вещественных чисел?

[Cash]

1) задача равносильна разбиению натуральных чисел с запретом в классе на разность, равную степени десятки с неотрицательным показателем.
а) Поскольку 2 соседних натуральных числа не могут находиться в одном классе, то единственная кандидатура разбиения - на четные и нечетные. Но тогда возникает проблема с числами $1$ и $11$.
б) 2 числа попадают в один класс, если они имеют один и тот же остаток при делении на $3$. Разность чисел из одного класса делится на $3$ и не может делиться на $10^k$

[Dave]

2a) Нельзя. Те же рассуждения, что и в 1a).
2б) Можно. Рассмотрим на множестве вещественных чисел отношение эквивалентности:

$$a \sim b \Leftrightarrow a-b - \text{конечная десятичная дробь}.$$

Пусть теперь $F=\mathbb{R} \slash \sim$ - множество классов эквивалентности, т.е. семейство непустых непересекающихся подмножеств $\mathbb{R}$, таких, что каждое из них содержит эквивалентные относительно вышеуказанного отношения элементы, элементы из разных подмножеств неэквивалентны и объединение всех элементов $F$ образует $\mathbb{R}$. Применим к $F$ аксиому выбора и получим некоторое множество $D \subset \mathbb{R}$, пересекающееся с каждым из множеств $F$ ровно по одному элементу. Теперь каждое число $a \in \mathbb{R}$ отнесём к одному из трёх классов, о которых говорится в условии задачи, следующим образом. Если $K \in F$- то единственное множество, которому принадлежит $a$ (класс эквивалентности элемента $a$), а $d \in K$ - тот единственный элемент из этого множества, который принадлежит $D$, то посчитаем сумму цифр в десятичной записи числа $a-d$ (а оно обязано быть конечной десятичной дробью), взяв её со знаком $a-d$. Если остаток от деления полученного числа на $3$ равен $0$, то отнесём $a$ к первому классу, $1$ - ко второму, $2$ - к третьему. При этом, если $b=a+10^m, m \in \mathbb{Z}$, то $b-d=(a-d)+10^m$ - конечная десятичная дробь, для которой этот остаток циклически увеличен на $1$, откуда следует, что $b$, которому будут соответствовать те же $K$ и $d$, т.к. $b \sim a$, будет отнесено к другому из трёх образуемых классов.