ограниченные кривые

[Oleg Zubelevich]

Кривая в $\mathbb{R}^3$ задана своими кривизной $k(s)$ и кручением $\ae(s)$, где $s\ge 0$-- натуральный параметр. Функции $k,\ae$ гладкие и имеют общий период $\omega>0.$

Доказать, что кривая ограничена (вся содержится в некотором шаре) тогда и только тогда, когда каждое $\omega-$периодическое решение $x(s)=(x_1,x_2,x_3)^T(s)$ системы

$$\dot x=\begin{pmatrix} 0&k&0\\ -k&0&\ae\\ 0&-\ae&0 \end{pmatrix}x$$

обладает следвующим свойством $\int_0^\omega x_1(s)ds=0$.

Отсюда вытекает, что 1) ограниченность кривой в пространстве не является случаем общего положения (а ограниченность кривой на плоскости является случаем общего положения); 2) если ситуация не очень вырождена, то установить неограниченность кривой можно доказательным вычислением на компе.

[Oleg Zubelevich]

Другой вариант.

Кривая задана своей кривизной $k(s)=1$ и кручением $\ae(s)=\frac{1}{1+s}.$ Доказать, что кривая неограничена при $s\ge 0$