Сходимость ряда \frac{\sqrt{a_n}}{n}

[Peek-A-Boo]

Помогите пожалуйста доказать следующее утверждение:
Если знакопостоянный ряд $\sum a_n$ сходится, то сходится и ряд $\sum \frac{\sqrt{a_n}}{n}$.

[bot]

Подберите ещё один сходящийся и воспользуйтесь признаком сравнения и неравенством между средним арифметическим и средним геометрическим.

[Хорхе]

Знакопостоянный = знакоположительный.

-- Вс дек 18, 2011 19:28:24 --

Не знаю, что имеет в виду bot, я вижу тут в чистом виде Коши-Буняковского.

[Peek-A-Boo]

bot
То есть так?
$\frac{\sqrt{a_n}}{n}=\sqrt{a_n\frac{1}{n^2}}=$среднее геометрическое $a_n$ и $\frac{1}{n^2}$. Следовательно, $\frac{\sqrt{a_n}}{n}<\max\left(a_n,\frac{1}{n^2}\right)$, а значит, соответствующий ряд сходится.
А при чем здесь тогда среднее арифметическое?
Хорхе
Спасибо, но доказательство этого неравенства крайне непривлекательно.

[ИСН]

Радикальный метод. Действительно, среднее арифметическое не нужно.

[bot]

Ну, на Вас не угодишь.

$2\dfrac{\sqrt {a_n}}{n}\leqslant a_n+\dfrac{1}{n^2} $