"Треть студента"

[Ktina]

Поток студентов пять раз сдавал один и тот же зачёт (не сумевшие сдать зачёт приходили на следующий день). Каждый день успешно сдавала зачёт треть всех пришедших студентов и ещё треть студента. Каково наименьшее возможное число студентов, так и не сдавших зачёт за пять раз?

[EtCetera]

$$(3-1)^5-\frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{3}}=31$$

А всего студентов на потоке в этом случае

$$\frac{31+\frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{3}}}{\left(1-\frac{1}{3}\right)^5}-\frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{3}}=80$$

[Dave]

Пусть $d_n$ - количество студентов, не сдавших зачёт в $n$-й день. Тогда в $n$-й день пришло сдавать зачёт $d_{n-1}$ студентов, $n=1,2,\ldots,5$ (мы условно полагаем $d_0$ равным количеству студентов, пришедших в первый день). По условию, в $n$-й день сдало зачёт $\frac 1 3 d_{n-1} + \frac 1 3$ студентов, значит не сдало $d_{n-1}-(\frac 1 3 d_{n-1} + \frac 1 3)=\frac 2 3 d_{n-1} - \frac 1 3$. С другой стороны, это число, по определению, равно $d_n$, поэтому $d_n=\frac 2 3 d_{n-1} - \frac 1 3, \; n=1,2,\ldots,5$. Из этой формулы по индукции выводится, что

$$d_n=\left(\frac 2 3 \right)^{\!n}\!\!(d_0+1)-1, \; n=0,1,\ldots,5.$$

$d_5$ должно быть целым, поэтому $d_0+1$ должно делиться на $3^5=243$ и, очевидно, минимальное число студентов в потоке $d_0$ (а, стало быть, и минимальное $d_5$), при котором это возможно - это 242, откуда минимальное значение $d_5$ - числа студентов, так и не сдавших зачёт за 5 дней - равно 31.

[spaits]

Я решала, приняв число студентов за $x$, и последовательно составила пять остатков.
Было $x$ студентов, первый зачет сдали $\frac{x+1}{3}$, не сдали $\frac{2x-1}{3}$ студентов. И так далее. Последний, пятый остаток тогда равен $\frac{32x-211}{243}$. Приравниваю его целому числу $m$ и решаю уравнение в натуральных числах $32x-211=243m$. Таким способом задачу могут решить учашиеся 6-8 класса.
Получила ответ: $x=242$, после пятого раза остались не сдавшими зачет $31$ студент.
Ответ совпадает с ответом Dave.

-- Сб дек 17, 2011 20:04:56 --

EtCetera в сообщении #516581 писал(а):

$$(3-1)^5-\frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{3}}=31$$

А всего студентов на потоке в этом случае

$$\frac{31+\frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{3}}}{\left(1-\frac{1}{3}\right)^5}-\frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{3}}=80$$

Проверьте, число студентов на потоке не может быть $80$.
Первый зачет: сдали 27, остались $53$.
Второй зачет: сдали 18, остались $35$.
Третий зачет: сдали $12$, остались $23$.
Четвертый зачет: сдали $8$, остались $15$.
Пятый зачет по условию задачи целое число студентов сдать не могут.

[EtCetera]

spaits
Вы и Dave, разумеется, правы. Прошу считать мой ответ верным с точностью до равенства $3^5=81$ .

[INGELRII]

(Оффтоп)

Это же очевидно: студентов изначально было -1 человек. После каждой попытки успешно сдавало зачет $-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}=0$ человек. Следовательно, после каждой попытки так и оставался -1 несдавший. Согласитесь, $-1<31$, так что мой ответ ближе к истине.

Где-то читал, что то ли Литтлвуд, то ли Харди дали именно такой ответ на эту задачу.

[Ktina]

INGELRII в сообщении #518580 писал(а):

(Оффтоп)

Это же очевидно: студентов изначально было -1 человек. После каждой попытки успешно сдавало зачет $-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}=0$ человек. Следовательно, после каждой попытки так и оставался -1 несдавший. Согласитесь, $-1<31$, так что мой ответ ближе к истине.

Где-то читал, что то ли Литтлвуд, то ли Харди дали именно такой ответ на эту задачу.

Если бы я была Литтлвудом или Харди, я бы здесь не сидела