Неравенство для положительных чисел

[Ybogii]

Положительные числа $a,b,c$ таковы, что $abc=1$.
Докажите, что

$$(a-1+\frac1b)(b-1+\frac1c)(c-1+\frac1a)\le1$$

[arqady]

После подстановки $a=\frac{x}{y}$, $b=\frac{y}{z}$ и $c=\frac{z}{x}$, где $x$, $y$ и $z$ положительны, Вы получите что-то очевидное.

[Dave]

Можно доказать и так. Для начала заметим, что среди множителей в левой части не может быть более одного отрицательного. Если бы это было так, то если, к примеру, отрицательные первые два, то, умножив первый на $bc$, а второй на $c$ и сложив произведения, должны были бы получить в сумме отрицательное число, а получили бы $(abc-bc+c)+(bc-c+1)=2$ - противоречие. Если отрицательный множитель ровно один, то произведение отрицательно или 0, т.е. неравенство выполняется.
Теперь рассмотрим теперь случай, когда все множители неотрицательны. Обозначим значение левой части через $P$. Тогда

$$P^2=\left(abc\right)^3P^2=\left(abc\right)^3\left(a-1+\frac 1 b\right)^2\left(b-1+\frac 1 c\right)^2\left(c-1+\frac 1 a\right)^2 =$$

$$=\left(bc\left(a-1+\frac 1 b\right)c\left(b-1+\frac 1 c\right)\right)\left(ac\left(b-1+\frac 1 c\right)a\left(c-1+\frac 1 a\right)\right)\left(ab\left(c-1+\frac 1 a\right)b\left(a-1+\frac 1 b\right)\right)=$$

$$=\bigl((1-bc+c)(bc-c+1)\bigr)\bigl((1-ac+a)(ac-a+1)\bigr)\bigl((1-ab+b)(ab-b+1)\bigr),$$

где, в силу сказанного выше (и положительности чисел $a,b,c$), все сомножители неотрицательны, поэтому и произведения в каждой из трёх внешних скобок неотрицательны. Однако каждое из этих произведений не может быть больше 1:

$$P^2=\bigl(1-(bc-c)^2\bigr)\bigl(1-(ac-a)^2\bigr)\bigl(1-(ab-b)^2\bigr) \leqslant 1,$$

откуда $P \leqslant 1$.