Число в двоичной системе

[Ktina]

а) Показать, что существует натуральное число n, делящееся нацело на 2011, бинарная запись которого содержит ровно 2011 нулей и ровно 2011 единичек.

б) Показать, что таких чисел больше ста.

[Dave]

Нужное число можно получить, приписав к числу

$$11111011011_2=2011_{10}$$

286 чисел

$$1011110010001_2=6033_{10}$$

и перемешав их с 293 нулями. Количество вариантов здесь

$$C_{286+293}^{286}=C_{579}^{286},$$

т.е более чем достаточно