О порядках величин, и вообще о допущениях

[magres]

При изучении теоретической физики, теории упругости, по теории слабого изгиба стержня, столкнулся со следующим:

немного введу в курс дела:
дело о слабом изгибе стержня
T - натяжение действующее вдоль стержня
E - модуль Юнга
S - площадь сечения стержня
I - момент инерции
X, Y - функции координат поперечного прогиба стержня вдоль его длины (вдоль оси z)







я конечно же о математике знаю не так много, но о чем идет речь вообще? Существуют законы по которым вычисляются порядки величин по производным? Всегда считал порядком величины - число его десятичных знаков. Что означает знак "тильда" в данном подтексте?

Вообще по какой логике можно пренебрегать некоторыми величинами? Часто встречаю предложения аналогичные "Эта величина имеет второй порядок малости и потому ею можно пренебречь". Как вычисляется порядок и по какому критерию её можно исключать? Либо бывает что некоторая величина пренебрегается, а немного далее она становится важной. Или это все берется "с потолка" ?

Существует доходчивая литература по этой теме?

[Sonic86]

magres в сообщении #515901 писал(а):

Что означает знак "тильда" в данном подтексте?

Тильда здесь - это чаще всего пропорциональность (или действительно порядок роста (около нуля или при стремлении к бесконечности)), т.е. $f \sim x$, если $f=Cx$, где $C$ от $x$ не зависит (но может зависеть от чего-то другого).
Слово "порядок величины" - это не термин, в лучшем случае это несколько синонимичных терминов, Вы можете его вольно воспринимать.

magres в сообщении #515901 писал(а):

Вообще по какой логике можно пренебрегать некоторыми величинами? Часто встречаю предложения аналогичные "Эта величина имеет второй порядок малости и потому ею можно пренебречь".

Это с матанализа. Например, если $F = a_0+a_1x+a_2x^2+\ldots$, то здесь $k$-е слагаемое имеет при $x \approx 0$ порядок малости $x^k$ и каждое следующее слагаемое при $x \to 0$ сколь угодно меньше предыдущего (формально: $\lim\limits_{x \to 0} \frac{a_{k+1}x^{k+1}}{a_kx^k} = 0$), и поэтому им для простоты пренебрегают. Замечу, что порядков роста функций несколько "больше", чем действительных чисел: например функция $f(x)=e^x$ при $x \to + \infty$ имеет экспоненциальный порядок роста, он больше, чем любой порядок роста любого многочлена. Аналогично $f(x) = \ln x$ растет медленнее любой степенной функции.

magres в сообщении #515901 писал(а):

Либо бывает что некоторая величина пренебрегается, а немного далее она становится важной. Или это все берется "с потолка" ?

Я думаю, она становится не важной, а существенной - просто уточняется модель. Например, "более точное" уравнение математического маятника содержит $\sin \varphi ''$ - синус 2-й производной. При малых углах $\sin \varphi '' = \varphi + O(\varphi ^3)$ - оставляют лишь 1-й член, а остальным пренебрегают. Получают одну модель. Однако могут и не пренебречь - получают вторую, более сложную и точную модель, дополняющую первую модель.

magres в сообщении #515901 писал(а):

Существует доходчивая литература по этой теме?

Фихтенгольц, 1,2-й тома (upd: и 3-й тоже - там обвертывающие асимптотические ряды). Задачник - Демидович, например. Систематически порешав, будете чувствовать порядок роста функций в точках. Есть и более явная литература - де Брейн Асимптотические методы, Кнут Конкретная математика, глава Асимптотика ну и еще много чего. Но только сразу она Вам не полезет - лучше с Фихтенгольца начинать.

[_hum_]

magres в сообщении #515901 писал(а):

Существует доходчивая литература по этой теме?

Если знакомы с матанализом, то довольно хорошо (хоть и в несколько справочном виде) изложено здесь:

Дороговцев А. Математический анализ, Киев, 2004, Раздел 3.2 "Исследование локального поведения функций" (в частности, подразделы 3.2.4 "Отношение пренебрежимости", 3.2.6 "Эквивалентные функции", 3.2.8 "Порядок одной функции относительно другой", 3.2.9 "Шкала сравнения", 3.2.10 "Главная часть. Асимптотическое разложение").

А суть этого всего - формализовать интуитивные понятия пренебрежимости одних величин по сравнению с другими (когда можно считать одни величины несущественными по сравнению с другими) и эквивалентности (когда можно безболезненно заменять одни величины на другие).