Корреляция, простая гипотеза.

[never-sleep]

1.

Найти коэффициент корреляции $\rho(Y,Z)$

$Y=\sin X$

$Z=\cos X$

Если $X$ равномерно распределена на отрезке $[-\frac{\pi}{2};0]$

Формулу для $\rho(Y,Z)$ знаю, плотности распределений $f(y)$ и $f(z)$ -- нашел, но проблема возникает с подсчетом $E(XY)$ Как там брать интеграл? Ведь $f(z,y)\ne f(z)f(y)$

2.

$X_1,X_2,...,X_n$ -- выборка из нормального распределения $N(\theta,\sigma^2)$.
Простая гипотеза

$H_0: \theta=1, \sigma=1$

Альтернативная простая гипотеза

$H_1: \theta=2, \sigma=1$

Критерий выбирается следующим образом:

$H_0$ принимается, если $X_n\geqslant 1$.

Найти ошибку первого рода $\alpha_I$ и мощность критерия $\beta$ при $n=50$

Как тут подобраться к задаче и от чего плясать?

[profrotter]

never-sleep в сообщении #515794 писал(а):

1.
Найти коэффициент корреляции $\rho(Y,Z)$
$Y=\sin X$
$Z=\cos X$
Если $X$ равномерно распределена на отрезке $[-\frac{\pi}{2};0]$
...
Как там брать интеграл?

$$\rho(Y,Z)=M[(Y-m_Y)(Z-m_Z)]=M[YZ-Ym_Z-Zm_Y+m_Zm_Y]=...$$

Понадобятся лишь математические ожидания величин $Y,Z\text{ и }YZ=\sin(X)\cos(X)=...$

[--mS--]

never-sleep в сообщении #515794 писал(а):

$H_0$ принимается, если $X_n\geqslant 1$.

Вы правильно записали критерий?

never-sleep в сообщении #515794 писал(а):

Найти ошибку первого рода $\alpha_I$ и мощность критерия $\beta$ при $n=50$

Как тут подобраться к задаче и от чего плясать?

Никак не надо никуда подбираться. Надо выучить определения и действовать по ним.

[never-sleep]

Спасибо!

$$f_Z(z) = \left\{ \begin{matrix} {2 \over \pi}\cdot \frac{1}{\sqrt{1-z^2}}, & z\in [0,1] \\ 0, & z\not\in [0,1] \end{matrix} \right$$

$$f_Y(y) = \left\{ \begin{matrix} {2 \over \pi}\cdot \frac{1}{\sqrt{1-y^2}}, & y\in [-1,0] \\ 0, &y\not\in [-1,0] \end{matrix} \right$$

$YZ=\cos X\sin X=0,5\cdot \sin 2X$

$$f_{[W=YZ]}(y,z) = \left\{ \begin{matrix} {2 \over \pi}\cdot \frac{1}{\sqrt{1-4w^2}}, & w\in [-1,0] \\ 0, & w\not\in [-1,0] \end{matrix} \right$$

Правильно? Теперь интегралы для матожиданий считать?

$$EY=\int\limits^0_{-1}{2ydy \over \pi}\cdot \frac{1}{\sqrt{1-y^2}} =- {2\over \pi}\int\limits^0_{-1}\frac{d(1-y^2)}{\sqrt{1-y^2}}=-\dfrac{\sqrt{1-y^2}}{\pi}\Big|_{-1}^0=-\dfrac{1}{\pi}$$

-- 15.12.2011, 22:45 --

--mS-- в сообщении #515858 писал(а):

Вы правильно записали критерий?

Да

-- 15.12.2011, 22:50 --

--mS-- в сообщении #515858 писал(а):

Никак не надо никуда подбираться. Надо выучить определения и действовать по ним.

Мощность критерия – это вероятность правильно отвергнуть нулевую гипотезу, то есть отвергнуть ее, когда она неверна

[profrotter]

never-sleep в сообщении #515957 писал(а):

Теперь интегралы для матожиданий считать?

Мат. ожидания можно было бы найти и исходя из распределения величины $X$, но можно и так как вы сделали. Скорее всего в вашем задании требуется нормированный коэффициент корреляции. Поэтому я в предыдущем сообщении вас немножко обманул: понадобятся ещё и дисперсии величин $Y$ и $Z$.

[--mS--]

Любой преподаватель поймёт по этому решению, что автор не владеет основными формулами, потому и вынужден идти таким путём (гланды автогеном). Например, в тех же условиях найти ковариацию $X$ и $\sin(X)$ ТС уже не сможет, потому как для вычисления простейшего матожидания $\mathsf E(X\cdot \sin(X))$ должен будет и не сможет найти плотность $X\cdot \sin(X)$.

never-sleep, чтобы найти математическое ожидание любой измеримой функции $g(X)$ от случайной величины $X$, нет никакой нужды искать распределение $g(X)$! В случае абсолютно непрерывного распределения $X$

$$\mathsf Eg(X) = \int_R g(t)f_X(t)\,dt.$$

never-sleep в сообщении #515957 писал(а):

Мощность критерия – это вероятность правильно отвергнуть нулевую гипотезу, то есть отвергнуть ее, когда она неверна

Да мне-то не нужно транслировать определения. Берёте определения и вычисляете, что требуется.

[never-sleep]

--mS--, profrotter

Спасибо, да, так будет проще считать!

$f_X(x)=\frac{2}{\pi}$, если $x\in[-\frac{\pi}{2};0]$, ноль иначе

$$E(\cos X)=\frac{2}{\pi}\int\limits_{-\frac{\pi}{2}}^0 \cos x dx=\frac{2}{\pi}\sin x\Biggl|_{-\frac{\pi}{2}}^0=\frac{2}{\pi}$$

$$E(\sin X)=\frac{2}{\pi}\int\limits_{-\frac{\pi}{2}}^0 \sin x dx=-\frac{2}{\pi}\cos x\Biggl|_{-\frac{\pi}{2}}^0=-\frac{2}{\pi}$$

$$E(\sin X\cos X)=\frac12E(\sin 2X)=\frac{1}{\pi}\int\limits_{-\frac{\pi}{2}}^0 \sin 2x dx=-\frac{1}{2\pi}\cos 2x\Biggl|_{-\frac{\pi}{2}}^0=-\frac{1}{\pi}$$

$$E(\cos X)^2=\frac{2}{\pi}\int\limits_{-\frac{\pi}{2}}^0 \cos^2 x dx=\frac{1}{\pi}\int\limits_{-\frac{\pi}{2}}^0 dx+ \frac{1}{\pi}\int\limits_{-\frac{\pi}{2}}^0 \cos (2x)dx=1+\frac{1}{2\pi}\int\limits_{-\frac{\pi}{2}}^0 \cos (2x)d(2x)=1+0=1$$

$$E(\sin X)^2=\frac{2}{\pi}\int\limits_{-\frac{\pi}{2}}^0 \sin^2 x dx=\frac{1}{\pi}\int\limits_{-\frac{\pi}{2}}^0 dx- \frac{1}{\pi}\int\limits_{-\frac{\pi}{2}}^0 \cos (2x)dx=1-\frac{1}{2\pi}\int\limits_{-\frac{\pi}{2}}^0 \cos (2x)d(2x)=1-0=1$$

$D(\cos X)=D(\sin X)=1-\frac{4}{\pi^2}$

$$\rho(\sin X,\cos X)=\dfrac{-\frac{1}{\pi}-\frac{4}{\pi^2}}{1-\frac{4}{\pi^2}}=\dfrac{4+\pi}{4-\pi^2}<-1$$

Только где-то ошибка точно, потому что коэффициент по модулю меньше 1

-- 16.12.2011, 13:39 --

--mS-- в сообщении #515858 писал(а):

Вы правильно записали критерий?

Оказывается -- нет.

Критерий выбирается следующим образом:

$H_0$ принимается, если $\overline X_n\geqslant 1$.

[never-sleep]

*Должен быть по модулю меньше одного

[--mS--]

(Оффтоп)

Откровенно говоря, не хочется соревноваться с mathhelpplanet, кто быстрее найдёт ошибки. Вообще не люблю ситуацию "ласковый телок двух маток сосёт". Так что дальше - без меня.

А так вообще в числитель подставили неверно произведение матожиданий.