Исследовать функцию на непрерывность (интеграл с параметром)

[Anexroid]

Исследовать на непрерывность на области определения

$$F(\alpha) = \int\limits_{0}^{1}\frac{\sin x}{x^\alpha}dx$$

Я так понимаю, для начала надо понять при каких $\alpha$ функция вообще существует. Как это понять?

[SpBTimes]

Для начала посмотрите, при каких $\alpha$ ваш интеграл просто сходится.
Потом вспомните, что для непрерывности функции на мн-ве $X$ достаточна равномерная сх-ть интеграла на этом множестве

[Anexroid]

При $x\rightarrow0$ интеграл сходится при $\alpha \leq 1$ (по признаку сравнения, сравнивал с $\frac{1}{x^{\alpha-1}}$

Правильно?

[SpBTimes]

да

[Null]

По-моему при $\alpha=1,5$ интеграл сойдется.

[SpBTimes]

Null
это и не противоречит ответу Anexroid
:)

[Anexroid]

Противоречит

$\alpha \leq 2$ а не $1$

Ну, нашли при каких $\alpha$ интеграл сходится. Что дальше? И не надо ли рассмотреть другие случаи, кроме $x\rightarrow0$?

[Null]

При $\alpha=2$ сходимости нет.

[Anexroid]

Так, тогда я что-то запутался...

[Donald]

Просто заменить нер-во на строгое.Строго меньше 2.Вроде так)

[Anexroid]

Ну да, судя по всему, $\alpha < 2$
Итак, при каких параметрах интеграл сходится, нашли. Что дальше? Надо ли рассмотреть случаи кроме $x\rightarrow0$? Если не надо,что делать дальше?

[Anexroid]

Чтобы доказать, что интеграл равномерно сходится, проще всего найти интегрируемую мажорирующую функцию для $\frac{\sin x}{x^\alpha}$ которая от $\alpha$ зависеть не будет... Вопрос только какую функцию взять?

-- Чт дек 29, 2011 11:16:00 --

Попробовал взять функцию $\frac{\sin x}{x}$, вроде подходит как мажорирующая, интегральный синус тоже вроде как сходится, вопрос только в том, надо ли это (сходимость интегрального синуса) доказывать?