Вариация функции

[username]

Дана функция $f(t,v)$, абсолютно непрерывная по $v$ для каждого $t$ и имеющая ограниченную вариацию по $t\in[0,T]$ для каждого $v$. Дана непрерывная функция $X(t)$, которая обладает неограниченной вариацией на любом конечном интервале содержащемся в $[0,T]$.
Требуется доказать (возможно, при каких-то дополнительных ограничениях), что функция $f(t,X(t))$ будет обладать неограниченной вариацией.
Прошу помочь решить эту задачу. Был бы очень рад получить ссылки на литературу, в которой обусждаются задачи похожего вида.

[AD]

Контрпример: $f(t,v)=0$ для всех $t,v$
Да, нужны дополнительные ограничения.

[username]

AD в сообщении #515714 писал(а):

Контрпример: $f(t,v)=0$ для всех $t,v$
Да, нужны дополнительные ограничения.

Это очевидная вещь, меня такие $f$ не интересуют. Прошу более не давать бессмысленных ответов.

[Padawan]

username
А какие $f$ Вас интересуют? Какой вопрос, такой и ответ.

[username]

Padawan в сообщении #515801 писал(а):

username
А какие $f$ Вас интересуют? Какой вопрос, такой и ответ.

Хорошо, согласен, резонное замечание. Уточню, интересуют $f$, такие что для каждого $v$ $f_t$ отлично от нуля $t$-п.н. и для каждого $t$ $f_v$ отлично от нуля $v$-п.н.

[Dan B-Yallay]

Не претендуя на строгость, просто в качестве идеи. Допустим, что
1) $V_0^T(F(t)) = \infty $
2) $0< m < f_t, f_v < M, \ $ где $\ f_t = \dfrac{\partial f}{\partial t}\ f_v = \dfrac{\partial f}{\partial v}, \ $
3) P = $0<t_1<t_2< \ldots <t_N=T$ - разбиение интервала $[0,T]$. Тогда по определению вариации имеем

$$\begin{align} V^T_0[f(t, F(t))] = & \sup_P \sum_{i=0}^{N_P} |f(t_{i+1}, F(t_{i+1}))-f(t_i, F(t_i)) | \\ =& \sup_P \sum_{i=0}^{N_P} |f(t_{i+1}, F(t_{i+1})) -f(t_{i+1}, F(t_{i}))+f(t_{i+1}, F(t_{i})) -f(t_i, F(t_i)) | \\ =& \sup_P \sum_{i=0}^{N_P} |f_v(t_{i+1}, F(\xi_i))(F(t_{i+1})-F(t_i))+f_t(\eta_i, F(t_i))(t_{i+1}-t_i) | \quad \textcolor{blue}{|a \pm b| \geqslant ||a|-|b||}\\ \geqslant & \sup_P \sum_{i=0}^{N_P} \Big ||f_v(t_{i+1}, F(\xi_i))(F(t_{i+1})-F(t_i))| - |f_t(\eta_i, F(t_i))(t_{i+1}-t_i) |\Big| \\ \geqslant &\sup_P \Big|\sum_{i=0}^{N_P} |f_v(t_{i+1}, F(\xi_i))(F(t_{i+1})-F(t_i))| - \sum_{i=0}^{N_P} |f_t(\eta_i, F(t_i))(t_{i+1}-t_i) |\Big|\\ \geqslant & \sup_P \Big(m \sum_{i=0}^{N_P} |F(t_{i+1})-F(t_i)| - M\sum_{i=0}^{N_P} |t_{i+1}-t_i |\Big)\\ =& mV_0^T(F(t))-M\cdot T \end{align}$$

Kак то так, если нигде не проврался.

[username]

Dan B-Yallay в сообщении #516010 писал(а):

Не претендуя на строгость, просто в качестве идеи. Допустим, что
1) $V_0^T(F(t)) = \infty $
2) $0< m < f_t, f_v < M, \ $ где $\ f_t = \dfrac{\partial f}{\partial t}\ f_v = \dfrac{\partial f}{\partial v}, \ $
3) P = $0<t_1<t_2< \ldots <t_N=T$ - разбиение интервала $[0,T]$. Тогда по определению вариации имеем

Согласен, но во-первых, для справедливости Ваших выкладок нужна дифференцируемость во всех точках, а во-вторых , ограничения на производные в пункте 2) кажутся слишком строгими. Хотелось бы получить решение для более широкого класса функций.