Кубический четырёхчлен - II

[Ktina]

(По мотивам задачи "Кубический четырёхчлен")

Существует ли такой кубический четырёхчлен $ax^3+bx^2+cx+d$ с целочисленными коэффициентами, что для любого десятичного репьюнита r выполняется $ar^3+br^2+cr+d=R$, где R - тоже десятичный репьюнит?
(Старший коэффициент кубического четырёхчлена не может быть нулевым!)

*Репьюнитом называется натуральное число, записываемое в данной системе счисления одними единичками.

[nnosipov]

Ну раз квадратный существует (кажется, это задача с какой-то из всероссийских олимпиад), почему бы не существовать и кубическому?

[Ktina]

nnosipov в сообщении #515490 писал(а):

Ну раз квадратный существует (кажется, это задача с какой-то из всероссийских олимпиад), почему бы не существовать и кубическому?

Курица Рассела отдыхает!

Квадратный подобрать легко, вот попробуйте кубический.

[spaits]

Ktina в сообщении #515491 писал(а):

Неплохая коллекция олимпиадных задач тут и тут.

Спасибо за ссылки, там нашлись интересные задачки. Только вот эту решать не берусь.

[Ktina]

spaits в сообщении #515494 писал(а):

Спасибо за ссылки.

(Оффтоп)

Не за что.
Пишите мне в личку, дам ещё кучу!

[spaits]

Ktina, мне нужны задачи для учеников 5-8 класса.

[Руст]

Подставляем $r=\frac{10^k-1}{9}, R=\frac{10^n}{9}$ умножаем на $9^3$ и получаем:

$$a*10^{3k}+(9b-3a)*10^{2k}+(3a-18b+81c)*10^k+(-a+9b-81c+729d+81)=81*10^n.$$

Так как уравнение верно при любом $k$, то
$a=3b=27c, c=27d+3$, при этом $a=729d+81=81*10{n-3k}$ или $9d+1=10$.
Это значит $d$ любой репьюнит и $c=27d+3,b=243d+27, a=729d+81.$

[nnosipov]

Ktina в сообщении #515491 писал(а):

Курица Рассела отдыхает!

Квадратный подобрать легко, вот попробуйте кубический.

Попробовал, это дело пяти минут: $81x^3+27x^2+3x$.

[Руст]

Это соответствует минимальному репьюниту для $d=0$ - нулевой длины.
Вообще для многочленов высокой степеней похоже так же решается:
$P(x)=\frac{(9x+1)^k-1}{9}$ минимальный многочлен соответствующий репьюниту нулевой длины.