Криволинейный интеграл первого рода

[Merhaba]

Добрый День!!! Помогите Пожалуйста вычислить криволинейный интеграл первого рода:
$\int_{L}|y|dS$, $L $- кривая $r=a(2+\cos\varphi )$

Мои рассуждения:
$dl=\sqrt{r^2+r'^2}d\varphi $
$dl=a\sqrt{5+4\cos\varphi }d\varphi $
$y=rsin\varphi $
$\int_{L}r\sin\varphi a\sqrt{5+4\cos\varphi }d\varphi $
Как расставить пределы интегрирования? Что делать с модулем? Какое $r$ подставлять в интеграл?

[AKM]

Merhaba,

раздел форума, куда я периодически переношу Ваши темы, называется "Помогите решить / разобраться (М)". Именно здесь помогают решать учебные задачи. Сюда и надо их постить. А не туда.

-- 14 дек 2011, 17:54 --

GAA в сообщении #514216 писал(а):

Merhaba, пожалуйста, внимательно прочтите правила раздела «Помогите решить / разобраться (М)», откройте конспект лекций или рекомендованный учебник и прочитайте соответствующий раздел, приведите содержательные попытки решения, укажите конкретные затруднения. (Для редактирования своего сообщения нажмите на кнопку «правка», которая находится в нижней части Вашего сообщения.) После редактирования напишите заявку на возвращение в теме Сообщение в карантине исправлено.

Merhaba,

Вы не прочитали ни правила, ни учебник. Тему следует исправлять в Карантине, где Вам дана возможность править её сколько угодно. А не плодить на форуме дубли.

Теперь про интеграл. Тут либо надо Вам полное решение привести, либо долго объяснять, что такое интеграл, и переписывать учебник.

Всякий такой интеграл можно сосчитать численно, пусть грубо, но зато с полным пониманием того, что означает этот крючочек. Вот если Вы это понимаете, то Вы набросаете эскиз кривой (а, уже сделано? хорошо!), разобьёте её на 10-20 маленьких кусочков, и прикинете, что на что Вы умножаете, и что с чем складываете. И как Вы всё это делаете всё точнее и точнее, для 100 кусочков, для 1000.
И тогда сразу ясно, "какие пределы", "какое эр подставлять", что делать с модулем. Без понимания процесса интегрирования это всё фуфель, и, главное, совершенно неприкольно.

Думаю, если Вы захотите перенести беседу в сторону понимания задачи, то найдутся собеседники, которые не поленятся поизлагать учебник в ответах на Ваши вопросы.

-- 14 дек 2011, 17:58 --

Вот у Вас там правильно найденное $dl$, и какое-то $dS$ в условии? Это, случайно, не одно и то же? Если одно, то зачем разные буковки? Если это разные штуки, то что это за штуки?

[Merhaba]

AKM
если под модулем оказывается синус, то пределы будут от нуля до пи ?

[SpBTimes]

Merhaba в сообщении #515513 писал(а):

если под модулем оказывается синус, то пределы будут от нуля до пи ?

Да не обязательно, просто от $0$ до $\pi$ там с плюсом будет, может где-то ещё - с минусом. Модуль учимся раскрывать.
А для начала определите пределы интегрирования.

[Merhaba]

SpBTimes
подскажите Пожалуйста, как определить пределы интегрирования...

[Алексей К.]

Merhaba, я постараюсь действовать в духе того, что предложил AKM.

В частности, предполагаю, что кривулька уже у Вас перед глазами, и Вы видите, что она симметрична относительно оси ОХ, и, поскольку Вы её сами рисовали, понимаете, почему она так симметрична.
И Вы видите, что от нуля до 360 градусов эта кривулька идёт (от 0 до $2\pi$ по-ихнему).
И вот в Вашем задании Вам предлагают, двигаясь по этой кривой, умножать длину каждого кусочка (да, она то $dl$ обозначена, то $dS$) на игрек-координату этого кусочка (и складывать эти произведения, складывать их, складывать, до опупения складывать):

Merhaba в сообщении #515447 писал(а):

$\int_{L}|y|dS$, $L $- кривая $r=a(2+\cos\varphi )$

Да, оказывается, не просто на координату, а на её модуль (вот, сцуки!). Но чёрт с ними, по крайней мере, пока мы движемся от нуля до 180 градусов, игрек-координата положительна (да? Вы это видите? точно?). И мы можем заменить в том интеграле $|y|$ на просто $y\;!$ И накакать на этот модуль (я имел в виду чуть более грубое слово)!

Так, а чему этот игрек равен? Ясен пень, $y=r(\varphi)\sin\varphi$. Где полярный радиус $r(\varphi)$ нам хорошо известен (помните, Вы с ним возились, когда кривую рисовали?)

Короче, я рассказал Вам всё для того, чтобы сосчитать первую половинку этого интеграла (блин, сам вместо Вас учебники читал!). И про пределы, и про модуль, и про всё. Ваш ход --- взять эту половинку искомого интеграла и нам предъявить. Тогда и про вторую половинку порассуждаем.

[SpBTimes]

(Оффтоп)

Алексей К.
я восхищён!