6^p+p^6 - простое? (по мотивам "Кванта")

[Ktina]

Вдохновлённая задачей 663 из "Кванта" (автор С.Майзус), я придумала следующую задачу:
Найти все такие простые числа p, что число $6^p+p^6$ - тоже простое, или доказать, что таких нет.

[Хорхе]

Опять оно на 7 делится почти всегда.

[Руст]

Задача очевидная, рассматриваем по модулю 7.

[Ktina]

(Оффтоп)

- Налейте мне горшочек мёду.
- Пожалуйста.
... (наливает)
- Да Вы халтурите, посмотрите, сколько мёда на стенках горшочка осталось!
- Но раньше было ещё больше!

Это я к тому, что задача из "Кванта" была ещё проще.

Действительно, делится на 7 (кроме p=2 и p=7).
При p=2 имеем 100, а при p=7 можно проверить последнюю цифру, она равна 5.

[Sonic86]

Если рассмотреть $k \in \mathbb{N}$, то похоже, что $6^k+k^6$ простое только если $k=1$. До $10^4$ я простых не нашел, доказать затрудняюсь А может надо уходить слишком далеко вперед... (напр., при $k=35$ наименьший делитель $9007$)...

[Shadow]

$6^p \equiv -1 \mod 7$ при нечетном p, а $p^6 \equiv 1 \mod 7$ при p некратное 7 по малой теореме Ферма.

[Хорхе]

Спасибо, капитан. Мы еще знаем, что $6^p + p^6$ четно при четном $p$.

[Shadow]

Хорхе, если Вы ко мне, то было тут одно опровержение, которое изчезло пока я писал. И мое сообщение было ответ - разъяснение.

[Хорхе]

(Оффтоп)

Понятно. А то я было подумал, что Вы пишете то, что уже трижды в теме написано.