Дифференциальное уравнение

[Aliara]

Решая некоторое дифференциальное уравнение пришла к следующему дифференциальному уравнению:

$$(y')^2=y^3(y+C)$$

Предполагаю, что одно из частных решений - это $y=-C$. Но пользы это особо не принесло.
Пока все опробованные методы приводят к тупику. Может я не вижу какие-то очевидные действия по его решению?

[myra_panama]

$\frac{dy}{y\sqrt{y^2+cy}}=dx$

$\frac{dy}{y\sqrt{y^2+cy}}=-dx$

[Aliara]

Опять загвоздка)
Я подкоренное выражение переписала как $y^2-Dy$, а затем сделала замену $y=D\sin^2t$. Тогда выражение перепишется так:

$$ \frac{2D\cos{t} dt}{\sin^2t\sqrt{-(1-\sin^2t)}}$$

.
Но тогда под корнем отрицательное выражение

[myra_panama]

Aliara в сообщении #515388 писал(а):

Но тогда под корнем отрицательное выражение

/
при каких t ваш подкоренная выражения неотрицательна.... при всех ли?

[Aliara]

$$-(1-\sin^2t)>0 $$

Так как знаменатель, то равенство нулю не рассматриваю
Но тогда

$$(1-\sin^2t)<0$$

$$1<\sin^2t$$

$$\sin{t}>1$$

$$\sin{t}<-1$$

То есть $t$ таких нет. Или я в чем-то все же ошиблась?

[myra_panama]

myra_panama в сообщении #515126 писал(а):

$\frac{dy}{y\sqrt{y^2+cy}}=dx$

Ну так можно и без тригонометрические подстановки...

$\int\frac{dy}{y^2\sqrt{1+\frac{c}y}}=-\frac1{c}\int\frac{d(\frac{c}y)}{\sqrt{1+\frac{c}{y}}}=-\frac2{c}\sqrt{1+\frac{c}y}$

[kiyanyn]

Aliara в сообщении #515388 писал(а):

Но тогда под корнем отрицательное выражение

Вы никогда не пробовали решать уравнение $x^2=2$ путем подстановки $x=\sin t$? Получается легко и просто - $\sin^2t=2$, но так как $|\sin t| \le 1$, решений нет, значит, решения $x^2=2$ не существует...

[Aliara]

Спасибо за разъяснения о решении.

kiyanyn, пример, конечно, хороший, но, поскольку диффурами я занималась давно, то сейчас их решение почти похоже на прохождение заново. Поэтому иногда интеграл кажется сложнее, чем он есть, поэтому и применяются такие методы)
И я не утверждала, что их не существует, я просто сказала, что зашла в тупик, поскольку по вычислениям его нет, а по факту решение обязано быть)

[kiyanyn]

Aliara в сообщении #515421 писал(а):

И я не утверждала, что их не существует, я просто сказала, что зашла в тупик, поскольку по вычислениям его нет, а по факту решение обязано быть)

Я всего лишь хотел сказать, что, выполняя замену, вы наложили дополнительное условие на область значений y. Что не имеет никакого отношения конкретно к дифурам...

[Klad33]

Вот Ваше решение:

$y_{1,2}=\frac{1}{ C\big ( \pm \frac{c_1}{2} x +\frac{c_1^2}{4}+\frac{x^2}{4}-\frac{1}{C^2}\big)}$

Подставил в исходное ДУ - все верно.

(Скобки нужны были, так как забыл C поставить)

[Praded]

Скобки в знаменателе зачем?