Вещественная часть характеристической функции

[max(Im)]

Такой вопрос. Характеристическая функция случайной величины $\xi$ есть $Me^{it\xi}.$ Величина комплексная. Теперь возьмем её действительную часть. $f=\operatorname{Re}( Me^{it\xi}).$ Всегда ли существует ли случайная величина с характеристической функцией $f$? С проверкой всяких-разных свойств х.ф. не выходит... подскажите, как быть?

[laptop]

сначала нужно вспомнить, что есть действительная часть от комплексного числа такого вида. косинус. затем вспомнить формулу косинуса через экспоненту. угу.а дальше определение хар функции для дискретной случ величины

[max(Im)]

$f = \frac12Me^{it\xi}+\frac12Me^{-it\xi}.$ это понятно. Но как определить сл.в. $\eta,$ для которой $f$ - х.ф.

$$ \eta = \begin{cases} \xi, \text{с вероятностью 1/2},\\ -\xi, \text{с вероятностью 1/2}. \end{cases} $$

Это как?

[laptop]

так. минуточку. видимо, M - знак математического ожидания. интеграл там по кси берется.)

[Хорхе]

Есть простой критерий, когда функция является характеристической: она должна быть непрерывной в нуле, равняться там единице и быть положительно определенной.

[ewert]

(Оффтоп)

Хорхе в сообщении #515194 писал(а):

простой критерий, когда функция является характеристической: она должна быть непрерывной в нуле, равняться там единице и быть положительно определенной.

Ничего себе простота: поди ещё выяви ту положительную определённость!

[laptop]

Хорхе в сообщении #515194 писал(а):

Есть простой критерий, когда функция является характеристической: она должна быть непрерывной в нуле, равняться там единице и быть положительно определенной.

хехе. не критерий, а необходимое условие

[Хорхе]

Критерий, хохо!

[--mS--]

max(Im) в сообщении #515118 писал(а):

$f = \frac12Me^{it\xi}+\frac12Me^{-it\xi}.$ это понятно. Но как определить сл.в. $\eta,$ для которой $f$ - х.ф.

$$ \eta = \begin{cases} \xi, \text{с вероятностью 1/2},\\ -\xi, \text{с вероятностью 1/2}. \end{cases} $$

Это как?

А чем Вас смущает эта случайная величина? Ну заведите монетку $\nu(\omega) = 0$ или $1$ с равными вероятностями и не зависящую от $\xi$, и положите $\eta(\omega)=\xi(\omega)$, если $\nu(\omega)=1$, и $\eta(\omega)=-\xi(\omega)$, если $\nu(\omega)=0$.

[max(Im)]

Про монетку $\nu$ понятно, но как считать матожидание $\eta,$ зная, скажем, плотность $\xi$?

[--mS--]

Искать распределение смеси по формуле полной вероятности - функцию распределения, плотность, и считать любые матожидания. У Вас вроде написано выше одно из таких матожиданий, Вы же из него исходя случайную величину записали?

[max(Im)]

Я это написал, да, но не понимаю, почему это строго. Тут появятся условные плотности?

[--mS--]

Тут не появятся никакие условные плотности, у нас независимые случайные величины $\xi$ и $\nu$. Формулу полной вероятности знаете? Вычисляйте с её помощью $\mathsf P(\eta < x)$.