Задача о вращающемся мяче

[NeveX]

Доброго времени суток!

Нужно закончить мат. модель траеткории движения вращающегося мяча. Но мне кое-что непонятно из лекций, в связи с чем прошу помощи в разборе.

Для начала опишу саму модель, и логику ее построения.



Начальная скорость:

$\\ \vec{v}(0) = \vect{V} = V\vec{e} \\ \vec{e} = (\cos{\alpha}, 0, \sin{\alpha}) $

Запишем уравнение силы по второму закону Ньютона:

$\\ \vec{v} = \dot{\vec{x}}\\ \vec{w} = \dot{\vec{v}} \\ \vec{F} = m\vec{w}\\ $

Запишем силы, учавствующие в формировании траектории:

$\\ \vec{\omega} = \omega \vec{\nu}, \nu\\ \vec{F_{\omega}} = B\vec{\omega}\vec{v} \\ \vec{F_{g}} = m\vec{g} \\ \vec{F(v)} = Av^{n} , n\subset\{1, 2\}\\ \vec{F_{r}} = - \vec{F(v)}\vec{\tau} \\ \vec{F_{w}} = -m_{ed}\vec{w}, m_{ed}=\mu\rho_{\alpha}\\ \vec{F_{A}} = -\rho g V $

Теперь можно сформировать тождество сил:

$$\vec{F} = \vec{F_{g}} + \vec{F_{r}} + \vec{F_{w}} + \vec{F_{\omega}} + \vec{F_{A}}$$

Подставив соответствующие значения, получим:

$$m\vec{w} = m\vec{g} - Av^{n}\vec{\tau} - \mu\rho_{\alpha}V - \rho_{\alpha} \vec{g} V + B\vec{\omega}\vec{v}$$

Пусть $a=\frac{\rho_{\alpha}V}{m}$, тогда:

$$\dot{\vec{v}} = \frac{\vec{g}(1-a)}{1+\mu a} - \frac{Av^{n}\vec{\tau}}{m(1+\mu a)} + \frac{B\vec{\omega}\vec{v}}{m(1+\mu a)}$$

Пусть теперь $\chi=\frac{1-a}{1+\mu a}$, получим:

$$\dot{\vec{v}} = \vec{g}\chi - \frac{Av^{n}\vec{\tau}}{m(1+\mu a)} + \frac{B\vec{\omega}\vec{v}}{m(1+\mu a)}$$

Область изменения $\chi$ либо число 1, либо очень маленькие значения.

Приведем величины к безразмерным.

$\\ \vec{v} = V\tilde{\vec{v}}\\ t = \frac{V}{g}\tilde{t}\\ \vec{\omega}\vec{v} = \omega v \vec{\nu}\vec{\tau} $

Запишем заново получившуюся формулу:

$$\frac{d\tilde{v}}{dt} = -k\chi - \frac{AV^{n}}{m(1+\mu a)}\tilde{v}^{n}\tau + \frac{B\vec{\omega}V}{m(1+\mu a)}\tilde{v}\vec{\nu}\vec{\tau}$$

Теперь произведем замену $f = \frac{AV^{n}}{m(1+\mu a)}$, $r=\frac{B\vec{\omega}V}{m(1+\mu a)}$. Смысл $f$ - зависимость траектории от параметров сопротивления при больших/малых скоростях; смысл $r$ - роль вращения в трактории.
Уравнение примет вид:

$$\dot{\vec{v}} = -\chi \vec{k} - f\tilde{v}\vec{\tau} + rv\vec{\nu}\vec{\tau}$$

Добавляя начальные условия, получаем конечную систему:

$$\left\{ \begin{array}{rcl} \dot{\vec{v}} & = & -\chi \vec{k} - f\tilde{v}\vec{\tau} + rv\vec{\nu}\vec{\tau} \\ \vec{v(0)} & = & \vec{e} \\ \vec{x(0)} & = & 0 \\ \end{array} \right $$

Существует несколько вариантов $\vec{\nu}$: вокруг оси $x$, $y$ или $z$.
Возьмем ось $y$:

$$\vec{\nu} \vec{v} = \left\| \begin{array}{ccc} i & j & k \\ 0 & 1 & 0 \\ v_{x} & v_{y} & v_{z}\\ \end{array} \right\| = \vec{i}v_{z} - \vec{k}v_{x} $$

Получаем:

$$\left\{ \begin{array}{rcl} \dot{v_{x}} & = & -f v_{x} + r v_{z} \\ \dot{v_{z}} & = & - \chi -f v_{z} + r v_{x} \\ \dot{v_{y}} & = & -f v_{y} \end{array} \right $$

Далее, насколько я понимаю, решив эту систему можно получить три скорости.

Теперь вопрос по сути. Что нам дает последняя система? Какие скорости конкретно она характеризует? Если по этой системе найти $v_{x}$, $v_{y}$, $v_{z}$, а потом пользуясь $\dot{\vec{x}} = \vec{v}$ найти $x(t), y(t), z(t)$, то что это будут за координаты?
Еще, если не сложно описать, я не особо понимаю, как собственно получилась последняя система, что куда подставили. Если есть какие-то идеи, буду рад услышать.
Заранее спасибо

[Утундрий]

Макабр! Векторные произведения не выписаны вообще, скаляры кое-где равны векторам, употребляемые термины неимоверно творческие и вообще, это скорее в "Физику".

[NeveX]

В принципе согласен, но, наверное, это может сделать только модератор.

Про векторы - сложная штука. Когда писал лекцию, особо не вникал, поэтому кое-где ошибался. Сейчас это, конечно, важно, но без набитой руки не разберешь где что.