школьная задача на делимость

[AZEsm]

Здравствуйте!
Ребёнок принёс со школьной олимпиады задачу.
2007^2007 - 2002^2002
найти делители разницы большие 1 и меньшие или равные 10 или показать, что таких делителей не существует.
(^ - знак степени)
Ломаю голову третий день. Помогите, пожалуйста!
(Как возможно подробней, что бы потом объяснить ребёнку )

[незваный гость]

В целом, конечно, скучно. Нужно проверить остатки от делимости на простые, не превосходящие 10. Т.е., 2, 3, 5, 7. Ну, 2 сразу отпадает (наше число нечетное), тоже 3 (2007 делится на 3, а 2002 — нет) и 7 (2002 делится на 7). Осталось проверить 5.

$ 2002 \equiv 2007 \equiv 2({\rm modulo} 5)$, поэтому $2007^{2007} - 2002^{2002} \equiv $ $ 2^{2007} - 2^{2002} \equiv $ $ 2^{2002} (2^5 -1) \equiv $ $ 2^{2002} ({\rm modulo} 5)$.

Таким образом, $2007^{2007} - 2002^{2002}$ не делится ни на одно из чисел от 2 до 10.

Легко видеть, что 2002 делится на 11 и на 13, поэтому минимально возможный делитель — 17.

[Юлия-ст]

пожалуйста, помогите решить подобную задачу!!!!
доказать, что

(42^43 * 43^43) - (33^33 * 37^33) делится или не делится на 5!!![/code][/quote]

[Someone]

Таким же способом. Заменяете основания степеней их остатками от деления на 5 и вперёд.

[Юлия-ст]

Спасибо огромное!!!!

[AD]

Да, и не забывайте обосновать способ.

[Юлия-ст]

??????

[Юлия-ст]

пожалуйста, и еще маленький вопросик: если остатки 1 и их разница тогда равна 0, то значит, что выражение не делится на 5? или наоборот?