Про равномерную сходимость

[Padawan]

Дано: $f_n\begin{smallmatrix}E\\\longrightarrow\\\longrightarrow\\{}\end{smallmatrix}f,$ $g_n\begin{smallmatrix}E\\\longrightarrow\\\longrightarrow\\{}\end{smallmatrix}g$ (равномерно сходится), $\inf\limits_E|g|>0$, и $f_n\approx g_n$ при $x\to x_0$ (т.е. $\lim\limits_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=1$ )
для любого $n=1,2,\ldots$ Доказать, что $f\approx g$ при $x\to x_0$.

Можно ли без эпсилон-дельта обойтись? Вроде утверждение почти очевидное.

[ewert]

Padawan в сообщении #513336 писал(а):

Можно ли без эпсилон-дельта обойтись?

А нужно ли?...

(кроме того, вместо $\approx$ положено писать $\sim$)

[AD]

Ну мы же умеем в указанном случае переставлять предельные переходы? (ясно, что $g_n$ тоже отделены от нуля)

$$\lim_{x\to x_0} \frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to x_0}\lim_{n\to\infty}\frac{f_n(x)}{g_n(x)}=\lim_{n\to\infty}\lim_{x\to x_0}\frac{f_n(x)}{g_n(x)}=\lim_{n\to\infty}1=1$$

[ewert]

AD в сообщении #513503 писал(а):

Ну мы же умеем в указанном случае переставлять предельные переходы?

Откуда это следует?...

Собственно, это утверждение типа того, что равномерный предел непрерывных функций непрерывен. Это надо доказывать.

[Padawan]

AD
Если бы $\frac{f_n(x)}{g_n(x)}$ равномерно сходилось к $\frac{f(x)}{g(x)}$, то тогда можно было переставить, есть такая теорема. Но это, вообще говоря, не верно.

[AD]

Да, сдаюсь. Хотя это верно, например, если $f$ ограниченна (но это как-то совсем уныло)