Олимпиадная задача по статистике

[Ktina]

Доказать, что существует бесконечно много натуральных чисел n, обладающих следующим свойством:

Для любых n целых чисел $a_1, a_2, \dots , a_n$, образующих арифметическую прогрессию, как среднее арифметическое, так и стандартное отклонение множества $\{a_1, \dots , a_n\}$ являются целыми числами.

(прошу прощения за дословный перевод )

[AlexValk]

Берем прогрессию $x_k=a+d(k-1)$, $k=1,\dots,n$ с целыми $a,d$.
Считаем для нее среднее $\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n} x_k=a+d\frac{n-1}{2}$, и дисперсию $D=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n} (a+d(k-1)-\bar{x})^2=d^2\frac{n^2-1}{12}$.
Стандартное отклонение $\sigma=\sqrt{D}$ будет целым при любом $d$, если $n^2-1=12m^2$, где $m$ -целое.
Все свелось к уравнению Пелля $n^2-12m^2=1$ (из которого также следует, что $n-1$ - четно, а значит среднее $\bar{x}$ заведомо будет целым).