![$f_n(x)=\int\limits_{\forall t}f(t)\cdot\varphi_n(x-t)\,dt$ $f_n(x)=\int\limits_{\forall t}f(t)\cdot\varphi_n(x-t)\,dt$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/0/8/808b6c9d5d8fed7d6271fc3895b8bfce82.png)
. Где функции
![$\varphi_n(t)$ $\varphi_n(t)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/b/f/7bfad540c61a455b449edb00358b542582.png)
1) неотрицательны; 2) бесконечно дифференцируемы (хотя хватило бы и просто гладкости); 3) финитны, причём их носители стягиваются к нулю при
![$n\to\infty$ $n\to\infty$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/c/3/6c36031acca07a801eb81a809102fc9282.png)
и 4) интегралы от которых по носителю равны единице. Такие очень легко сочинить, и вы в вашем курсе наверняка нечто подобное проделывали; иначе даже непонятно, что это вообще за курс функана.
Из второго пункта следует гладкость этих функций, а из остальных трёх -- их равномерная сходимость к исходной (в силу равномерной непрерывности последней). Только, конечно, перед интегрированием надо доопределить исходную функцию за пределы промежутка по непрерывности (не очень важно как -- например, константами).