Пожалуйста, давайте немного изменим обозначения в Вашей задаче, чтобы они стали более обычными и соответствовали статье в Википедии.
Вам надо найти функцию

, удовлетворяющую условиям

, на которой функционал

принимает экстремальное значение.
Nick0lay писал(а):
нам нужно решить дифференциальное уравнение (ур. Эйлера — Лагранжа), чтобы проверить достигает ли функционал экстремума
Вам нужно решить дифференциальное уравнение, чтобы узнать,
на какой функции

функционал достигает экстремума (если вообще достигает).
Та функция, которая будет решением дифференциального уравнения Эйлера-Лагранжа -- кандидат на функцию, обеспечивающую функционалу экстремальное значение. Почему кандидат? Вообще-то выполнение уравнения Эйлера-Лагранжа для функции

-- это необходимое, но ещё недостаточное условие того, что функционал будет экстремальным на

. Но мы этот факт
для простоты замнём и скажем: если

-- решение уравнения Эйлера-Лагранжа, то функционал для найденной

будет экстремальным.
Nick0lay писал(а):
Сразу же вопрос, функционал - это переменная величина, зависящая от функции, что является функционалом в моем уравнении?
Функционалом у Вас является интеграл

.
Давайте теперь составим уравнение Эйлера-Лагранжа для нашей задачи.
Функция

-- это подынтегральная функция. Она в обычных ситуациях зависит от

. Вам повезло, и у Вас она зависит только от

, а именно:

.
Производные

и

ещё часто обозначаются

и

. Находить их надо так, как будто

,

и

-- это простые независимые переменные, не имеющие друг к другу никакого отношения (можно мысленно заменить

на

).
Найдите для Вашего случая

и

. Проверьте себя:
(Ответ)
Пока понятно?