Функциональное уравнение

[student]

Найдите все функции $f:N\rightarrow N$, такие что для любых натуральных $m$ и $n$ выполнялся равенство

$$mf(n)+nf(m)=f(m^2+n^2)$$

[arseniiv]

(Оффтоп)

Какая красивая задача! Надо попробовать.

[MrDindows]

Из того, что:
$(2n^2-1)^2+(2n)^2=(2n^2)^2+1^2$
получаем :
$(2n^2-1)f(2n)+2n f(2n^2-1)=f(2n^2)+2n^2f(1)$
Так же, если $m=n$, то $f(2n^2)=2nf(n)$
Подставив это в предыдущее уравнение получим:
$(2n^2-1)f(2n)+2n f(2n^2-1)=2nf(n)+2n^2f(1)$
И так как $2n^2-1$ не делится на $2n$, то $f(2n)$ должно делится на $2n$ для всех $n$.

Вернёмся к выражению: $f(2n^2)=2nf(n)$
Согласно доказанному выше, $f(2n^2)$ делится на $2n^2$, а значит и $2nf(n)$ делится на $2n^2$, тоесть $f(n)$ делится на $n$ для всех натуральных $n$.

Положив в исходное уравнение $m=n=1$ получим$f(2)=2f(1)$
$m=n=2$ получим $f(8)=8f(1)$
$m=n=8$ получим $f(128)=128f(1)$
И тд, степени двоек образуют последовательность 0, 1, 3, 7, 15 ...

Ну и взяв $n=1$, a $m$ -любое число из этой (бесконечной) последовательности, получим:
$2mf(1)=f(m^2+1)$
Учитывая то, что $f(n)$ делится на $n$, получаем, что $f(1)$ делится на $m^2+1$ для всех $m$ из нашей последовательности. А так как последовательность бесконечна, то это невозможно, и таких функций не существует.

Вот так вот=)