Уравнение в ЦНЧ (целых неотрицательных числах)

[Ktina]

Решить уравнение:

$\frac{n!+m!}{k!}=3^k$

$(n, m, k\in\mathbb N_0)$

[gris]

Одно решение нашёл $(1,2,1)$ и хватит с меня.
Ой, да их куча! $(0,2,1)$. Плюс перестановки первых двух чисел.
А почему добавлено слово "неотрицательных"? $k=0$ не корень, а в $n$ и $m$ равносильность 0 и 1 слишком уж тривиальна. Можно было съэкономить на словах, задав уравнение в натуральных числах. Или тут подвох?
И где Ваша подруга, кстати?

[kiyanyn]

$n=0, m=2, k=1$
$n=1, m=2, k=1$

Ну, и обмен n и m дает еще 2 решения.
(Раз заказаны целые неотрицательные, 0 разрешен...)

UPD: опоздал на 2 минуты... :)

[DjD USB]

а такое уравнение $a! + b! +c!=d!$ решить в натуральных числах. думаю тоже простая задача

[Dave]

DjD USB в сообщении #512611 писал(а):

а такое уравнение $a! + b! +c! =d!$ решить в натуральных числах. думаю тоже простая задача

Единственное решение: $a=b=c=2, d=3$. Действительно, при $d=1$ и $d=2$ решений нет, при $d=3$ указанное выше, очевидно, единственное, а если бы были решения при $d \ge 4$, то тогда, т.к. $a<d$, $b<d$, $c<d$, то и $a \le d-1$, $b \le d-1$, $c \le d-1$, стало быть

$$a!+b!+c! \le 3(d-1)! < d!$$

Противоречие.

[DjD USB]

Все верно.

(Оффтоп)

решение по моему книжное мне точно также рассказывали