общее решение простого дифф.уравнения в частных производных

[Shampe]

Здравствуйте!Заранее извиняюсь за тривиальный вопрос.
Никак не могу найти общее решение уравнения:
$x^2U_{xx}-2xyU_{xy}+y^2U_{yy}+xU_{x}+yU_{y} = 0$
Решал так:
1)определил тип уравнения:D = 0, уравнение параболического типа.
2)находим общие интегралы уравнения характеристик:
$x^2dy^2+2xydxdy+y^2dx^2=0$
$(xdy+ydx)^2=0$
уравнение с разделяющимися переменными,интегрируем, и получаем интеграл:
$h_1(x,y)=x+y$
3)делаем замену переменных:
$\xi=y+x,\eta=x$ Якобиан преобразование не равен нулю,проверял.
4)по правилу дифференцирования сложной функции получаем:
$U_x=U_\xi+U_\eta$
$U_y=U_\xi$
$U_{xx}=U_{\xi\xi}+2U_{\xi\eta}+U_{\eta\eta}$
$U_{yy}=U_{\xi\xi}$
$U_{xy}=U_{\xi\xi}+U_{\xi\eta}$

5)Подставляем в исходное уравнение и получаем:
$x^2*(U_{\xi\xi}+2U_{\xi\eta}+U_{\eta\eta})-2xy(U_\xi+U_{\xi\eta})+y^2U_{\xi\xi}+x(U_\xi+U_\eta)+yU_\xi=0$

В пункте 5 возникает проблема.Обычно после этой подстановки практически все сокращается, но а уменя не сокращается ничего и как составить характеристическое уравнение в таком случае я без понятия. В общем требуется помощь.
Спасибо.

[mihiv]

Проверьте $h_1(x,y)$.

[Shampe]

Да,спасибо,все прекрасно решается.Со свойствами логарифмов налажал.

[Shampe]

Черт,все-таки не далеко я ушел от предыдущего проблемного места.
Уравнение,написанное в первом посте,записал в каноническом виде:
$x^2U_{\eta\eta}+xU_\eta=0$
Сократил на $x^2$ и выполнил обратную замену переменной ($\eta=x$) и получил:
$U_{\eta\eta}+(1/\eta) U_\eta=0$
Как дальше решать?Я так понимаю надо записать характеристическое уравнение,но как это сделать в моем случае?

[mihiv]

Теперь у Вас получилось обыкновенное ДУ по переменной $\eta $.

[Shampe]

Да,я вижу. Я,допустим,могу найти общее решение этого уравнения,но что мне с ним делать дальше?

[mihiv]

Это и будет общее решение исходного уравнения(после перехода к переменным $x$ и $y$),но при решении обыкновенного ДУ нужно будет учесть,что постоянные интегрирования на самом деле будут произвольными функциями переменной $\xi $.