Сумма степеней - II (по мотивам задачи "Сумма 2011-ых степ")

[Ktina]

По мотивам вот этой Ксюшиной задачи: topic44785.html , только чуть посложнее.

Найдутся ли 2011 попарно различных натуральных чисел, сумма 11-ых степеней которых является 20-ой степенью натурального числа, а сумма 20-ых степеней - 11-ой степенью натурального числа?

[Ktina]

(Подсказка)

Попробуйте сперва найти два числа, сумма кубов которых - квадрат, а сумма квадратов - куб. В дальнейшем легко обобщить на n чисел, сумма m-ых степеней которых - k-ая степень, а сумма k-ых степеней - m-ая степень.

[maxal]

Тот же приём по сути:

Берем 2011 произвольных попарно различных натуральных чисел. Пусть $a$ - это сумма их 11-х степеней, $b$ - это сумма их 20-х степеней. Наша цель умножить каждое из выбранных чисел на число вида $a^p b^q$ так, чтобы соответствующие суммы стали 20-й и 11-й степенью соответственно. А это накладывает на $p$, $q$ следующие требования:

$$\begin{matrix}\begin{cases} 11p + 1 \equiv 0\pmod{20}\\ 20p\equiv 0\pmod{11} \end{cases} & \qquad & \begin{cases} 11q \equiv 0\pmod{20}\\ 20q+1\equiv 0\pmod{11} \end{cases} \end{matrix} $$

В виду взаимной простоты 11 и 20 эти системы сравнений имеют решения.

А именно, можно взять, например, $p=209$ и $q=160$.
Тогда сумма 11-х степеней будет равна $(a^{115}b^{88})^{20}$, а сумма 20-х степеней равна $(a^{380} b^{291})^{11}$.