Сепарабельность случайного процесса ( задача )

[loldop]

Здравствуйте!
Верно ли решение задачи?
($\Omega, \mathkrat{F}, \mathkrat{P}$) - вероятностное пространство
Условие: {$X_t, t \in T$} - случайный процесс.
X_t = (X^{(1)}_t, ..., X^{(d)}_t)
Тогда $X_t$ - сепарабелен $\Leftrightarrow$, когда
сепарабельны $X^{(i)}_t$, $i=1..d$

$J = (a,b)\cap T$ -относительный интервал
Решение:
\Rightarrow
Из сепарабельности процесса $X_t$ следует, что существуют:
а) S - счетное множество
b) N \in \mathkrat{F} - событие нулевой вероятности такие, что

$X_u(\omega) \in \bigcap_{J:u \in J}\overline{X(J \cap S, \omega)}$, где $\omega \not \in N$

тогда, взяв каждую координату, можно написать:
( верно ли, что здесь можно применить оператор проектирования? )

$ \forall i : $ $X^{(i)}_u(\omega) \in \bigcap_{J:u \in J}\overline{X^{i}(J \cap S, \omega)}$, где $\omega \not \in N$

т.е. если возможно применить безболезненно оператор проектирования, то утверждение в одну сторону доказано.

\Leftarrow
Из сепарабельности каждого процесса $X^{(i)}_t, i=1..d$ следует, что существует
a) S^{(i)} - сепаранты
b) N^{(i)} \in \mathkrat{F} - события нулевой вероятности такие, что

$\forall i: $ $X^{(i)}_u(\omega) \in \bigcap_{J:u \in J}\overline{X^{(i)}(J \cap S^{(i)}, \omega)}$, где $\omega \not \in N^{(i)}$

тогда, взяв
N^{(o)} = \bigcap{N^{(i)}}, причем P(N^{(o)})=0
S^{(o)} = \bigcap{S^{(i)}}, причем S^{(o)} - счетно
можем написать и для процесса $X^{(o)}_t = (X^{1}_t,...,X^{d}_t)$

$X^{(o)}_u(\omega) \in \bigcap_{J:u \in J}\overline{X^{(o)}(J \cap S^{(o)}, \omega)}$, где \omega \not \in N^{(o)}

т.е. процесс $X^{(o)}_t$ ( он же $X_t$ ) сепарабелен.

утверждение доказано.
верно ли?