задачи из "Савельева"

[Ms-dos4]

Есть проблема с некоторыми задачами из задачника Савельева.
1.67
Тонкая стальная цепочка с очень мелкими звеньями, имеющая длину l=1м, и массу m=10г, лежит на горизонтальном столе. Цепочка вытянута в прямую линию, перпендикулярную краю стола. Конец цепочки свешивается с края стола. Когда длина свешивающейся части составляет $\[\eta = 0,275\]$ от длины l, цепочка начинает соскальзывать со стола вниз. Считая цепочку однородной по длине, найти:
а)Коэффициент трения между цепочкой и столом
б)Работу сил трения цепочки о стол за время соскальзывания
в)Скорость цепочки в конце соскальзывания
Ну по первому пункту вопросов нет
Пишем уравнения для части цепочки лежащей на столе(1) и свисающей(2)
$\[\begin{array}{l} 1)T - \mu l(1 - \eta )mg = ma\\ 2)T - m\eta lg = ma \end{array}\]$
Умножаю второе ур-ие на (-1) и складываю с первым в итоге
$\[\mu = \frac{\eta }{{1 - \eta }}\] $
А вот со вторым пунктом не всё понятно
$\[{A_{tr}} = - {F_{tr}} \cdot l(1 - \eta )\]$
Но сила трения не постоянна, т.к. масса цепочки лежащей на столе уменьшается. Пытался сделать так
$\[{F_{tr}} = \int\limits_0^{l(1 - \eta )m} {\mu mg} dm = \frac{{\mu g{l^2}{{(1 - \eta )}^2}{m^2}}}{2}\]$
$\[{A_{tr}} = - \frac{{\eta g{l^3}{{(1 - \eta )}^2}{m^2}}}{2}\]$
Но с ответом не сходится...

[Ilia_]

А воспользоваться закон сохранения не пробовали?

[Ms-dos4]

Я думал использовать закон сохранения энергии в последнем пункте(при нахождении скорости, там потребуется работа сил трения).
Но даже допустим применим закон сохранения. А как тогда находить конечную скорость цепочки?

[Ilia_]

Проинтегрировав уравнения движения. Пусть на столе лежит кусок цепочки длиной $x$ и массой $mx/l$. Тогда свисает кусок длиной $l-x$ и массой $m(l-x)/l$. Запишем для них второй закон Ньютона:

$$T - \mu \frac{mgx}l = -\frac{mx}l\ddot x$$

$$T - \frac{mg(l-x)}l = \frac{m(l-x)}l\ddot x$$

Начальное условие: $x(0)=(1-\eta) l$, $\dot x(0)=0$. Исключив из этой системы $T$, получаем обыкновенное дифференциальное уравнение. Даже линейное. Решаем его, получаем скорость цепочки в момент окончания соскальзывания ($\dot x(t)$, при $x(t)=0$). Зная эту скорость из закона сохранения энергии получаем силу трения.

А можно и проще, как вы изначально и предлагали: $F_f=-\mu \frac{mgx}l$.

$$A_f=\int\limits^0_{(1-\eta)l} F_f\,dx=\int\limits^{(1-\eta)l}_0 \mu \frac{mgx}l\,dx=\mu mgl\frac{(1-\eta)^2}2$$

Зная работу сил трения, легко найти скорость в момент соскальзывания.