Неотличимые и эквивалентные случайные процессы

[loldop]

Добрый день!
Помогите разобраться в определениях ( особенно в их отличии ).
$(\Omega, F, P)$ - вероятностное пространство

Процессы {$ X_t, t \in T} и {${X'_t, t \in T} $} называются эквивалентными, если
$P(X_t \ne X'_t)=0$ для $\any t \in T$

Процессы {${X_t, t \in T}$} и {${X'_t, t \in T} $} называются неотличимыми, если
$\exists \Omega' \in F:P(\Omega')=1$
и для любых $ \omega \in \Omega':$
$ X_t(\omega) = X'_t(\omega)$ для всех $t \in T$

Какой именно пример можно привести?
Эквивалентные процессы являются равными на множествах, вероятность которых не ноль.
А вот как построить процессы, которые являются эквивалентными, но и являются отличимыми?

Правильно ли я понимаю, что неотличимые процессы являются "почти-равными" на множестве $\Omega \times T$ ?

Тогда, для построения соответствующего примера, нужно взять один процесс, который, допустим, эквивалентен другому:
$\Omega = [0,1]$
$F = \mathfrak{B}([0,1])$
P - мера Лебега.
тогда возьмем процесс {$X_t, t \in T$} и {$Y_t, t \in T$} такие:
$X_t(\omega) = 1, если t = \omega$ и $X_t(\omega)=0$ в остальных случаях
$Y_t(0) = 1, t \in T$ и $Y_t(\omega)=0, t \in T$ в остальных случаях

тогда получаем, что эти процессы эквивалентны, но при этом:
\not \exists \Omega': P(\Omega') = 1 и
для любых $ {\any\omega} \in \Omega'$:
$X_t(\omega)=Y_t(\omega)$ для всех $t \in T$

Процессы в каждый момент "времени" отличаются друг от друга на множестве меры ноль, но при этом, мы не сможем подобрать $\Omega'$ так, чтобы они были одинаковыми для всех моментов "времени" при любом $\omega \in \Omega'$

Верно?

[Хорхе]

Верно.

Неотличимые процессы эквивалентны, но наоборот, вообще говоря, неверно (потому что вероятностная мера счетно-, не континуально-аддитивна). И пример именно такой, как Вы привели.

Поэтому в теории случайных процессов и возникает довольно странное на первый взгляд понятие сепарабельности.