Решение СЛАУ методом Зейделя

[Sverest]

Решить СЛАУ $Ax=b$ методом Зейделя:

$$ \begin{cases} 8 x_1+40x_2-3x_3=28\\ -7x_1+5x_2+50x_4=0\\ 8x_1+64x_3-11x_4=18\\ 32x_1+5x_4=12\\ \end{cases} $$

Приведем к виду $x=Bx+c$:

$$ \begin{cases} x_1=-5x_2+0.375x_3+3.5\\ x_2=1.4x_1-10x_4\\ x_3=-0.125x_1+0.172x_4+0.281\\ x_4=-6.4x_1+2.4 \end{cases}$$

т.к. для сходимости метода Зейделя достаточно, чтобы максимальный элемент матрицы $B$ был меньше единицы, а в полученной матрице максимальный элемент 10 это значит, что методом Зейделя решить данное СЛАУ нельзя?

-- Пт дек 02, 2011 15:19:07 --

Что за метод, для выполнения достаточного условия сходимости в котором надо воспользоваться перестановкой строк в исходной системе уравнений?

[Nemiroff]

Цитата:

т.к. для сходимости метода Зейделя достаточно, чтобы максимальный элемент матрицы $B$ был меньше единицы, а в полученной матрице максимальный элемент 10 это значит, что методом Зейделя решить данное СЛАУ нельзя?

Скажите, чем отличается достаточное условие от необходимого?

[Sverest]

Nemiroff в сообщении #510838 писал(а):

Цитата:

т.к. для сходимости метода Зейделя достаточно, чтобы максимальный элемент матрицы $B$ был меньше единицы, а в полученной матрице максимальный элемент 10 это значит, что методом Зейделя решить данное СЛАУ нельзя?

Скажите, чем отличается достаточное условие от необходимого?

Если оно не выполняется, то это еще ничего не значит,
а как подсчитать норму матрицы, есть же еще условие $||A||<1$

-- Пт дек 02, 2011 15:43:38 --

Норма матрицы это сумма наибольших элементов столбцов?
$32+40+64+50=186~~~(>1)$
значит не сходится

[Nemiroff]

Цитата:

Если оно не выполняется, то это еще ничего не значит,

Ну то есть ваш вопрос снимается?

А сходимость у вас обеспечивается доминированием диагональных элементов (какой-то термин, кажется, есть для этого), если строки переставить.

Цитата:

Норма матрицы это сумма наибольших элементов столбцов?
$32+40+64+50=186~~~(>1)$
значит не сходится

Ну какая у вас там норма, я не знаю, можно по столбцам, по строкам, по собственным числам и т. д.
Почему вы из невыполнения достаточного условия делаете вывод о несходимости?

[Sverest]

Nemiroff в сообщении #510843 писал(а):

А сходимость у вас обеспечивается доминированием диагональных элементов (какой-то термин, кажется, есть для этого), если строки переставить.

Можно про этот способ поподробней узнать, а норму матрицы я неправильно подсчитал?

[Nemiroff]

Цитата:

Можно про этот способ поподробней узнать

Если в каждой строке диагональный элемент по модулю больше суммы модулей остальных элементов, матрица диагонально доминирует. У вас можно переставить строчки и сделать ее такой.
И тогда (если я правильно помню) метод Зейделя сходится.
А сам метод с формулами в Вики есть.

Цитата:

а норму матрицы я неправильно подсчитал?

Ну норма - это максимум из сумм модулей элементов столбцов. Или строк. В любом случае неправильно.

[MaximVD]

Nemiroff в сообщении #510843 писал(а):

А сходимость у вас обеспечивается доминированием диагональных элементов (какой-то термин, кажется, есть для этого)

Такие матрицы обычно называют матрицами с диагональным преобладанием.

[coll3ctor]

Sverest в сообщении #510839 писал(а):

Nemiroff в сообщении #510838 писал(а):

Цитата:

т.к. для сходимости метода Зейделя достаточно, чтобы максимальный элемент матрицы $B$ был меньше единицы, а в полученной матрице максимальный элемент 10 это значит, что методом Зейделя решить данное СЛАУ нельзя?

Скажите, чем отличается достаточное условие от необходимого?

Норма матрицы это сумма наибольших элементов столбцов?
$32+40+64+50=186~~~(>1)$
значит не сходится

Это лишь одна из норм матрицы