Сколько сказок в книге?

[Ktina]

В книге 120 страниц, одна из которых отведена под титул, одна — под аннотацию, ещё одна — оглавление. На остальных страницах напечатаны сказки, причём каждая сказка начинается с новой страницы. Сумма номеров страниц, на которых начинаются сказки, в пять раз меньше суммы номеров страниц, на которых они заканчиваются. Сколько сказок в книге?

[maxal]

Пусть у нас $n$ сказок, начинающихся со страниц $s_1<s_2<\dots<s_n$ (здесь $1\leq s_1\leq 4$ в зависимости от того, с какой страницы в книге начинается нумерация). Тогда сказки заканчиваются на страницах $s_2-1, s_3-1, \dots, s_n-1, 116+s_1$ и поэтому:

$$5 \sum_{i=1}^n s_i = 116 + s_1 + \sum_{i=2}^n (s_i-1)$$

откуда

$$4 \sum_{i=1}^n s_i = 117 - n.$$

Отсюда, во-первых, имеем $n\equiv 1\pmod{4}$. Для минимального значения $n=5$, имеем $\sum_{i=1}^5 s_i = 28$, что достижими. Однако $n=9$ уже невозможно, так как $\sum_{i=1}^9 s_i \geq \sum_{i=1}^9 i = 45 > 27$.

Таким образом в книжке 5 сказок.

[Ktina]

maxal в сообщении #511095 писал(а):

Пусть у нас $n$ сказок, начинающихся со страниц $s_1<s_2<\dots<s_n$ (здесь $1\leq s_1\leq 4$ в зависимости от того, с какой страницы в книге начинается нумерация). Тогда сказки заканчиваются на страницах $s_2-1, s_3-1, \dots, s_n-1, 116+s_1$ и поэтому:

$$5 \sum_{i=1}^n s_i = 116 + s_1 + \sum_{i=2}^n (s_i-1)$$

откуда

$$4 \sum_{i=1}^n s_i = 117 - n.$$

Отсюда, во-первых, имеем $n\equiv 1\pmod{4}$. Для минимального значения $n=5$, имеем $\sum_{i=1}^5 s_i = 28$, что достижими. Однако $n=9$ уже невозможно, так как $\sum_{i=1}^9 s_i \geq \sum_{i=1}^9 i = 45 > 27$.

Таким образом в книжке 5 сказок.

В этой задаче подвох в том, что оглавление не обязано находиться в начале книги, оно может быть и в конце. Типичная ошибка - предположить, что первая сказка начинается на четвёртой странице. Но этот путь - тупиковый.
Ваше решение верно.