Сглаживание частот в многомерном пространстве

[Андрей1]

Стоит задача сгладить частоты в многомерном пространстве. Возможная постановка такова.
Есть двумерное пространство параметров $\{x_1,x_2\}$, в каждой точке которой можно вычислить значение частоты $\nu(x_1,x_2)$.
На этом пространстве введем сетку из значения параметров $\{x_1(i),x_2(j)\}$, $i=1,2,...,N$, $j=1,2,...,M$. Для этих значений параметров имеем матрицу значений частот $\nu_{i,j}=\nu(x_1(i),x_2(j))$.
Необходимо найти оценки вероятностей для этих частот, удовлетворяющие условиям: $\nu_{i+1,j} \le \nu_{i,j}$ и $\nu_{i,j+1} \le \nu_{i,j}$.

Одномерная задача решается методом isotonic regression.

Однако:
1) Решение получается ступенчатой функцией по $i$, что из практических соображений (выделенных значений $x(i)$ нет), и из соображений гладкости (или минимизации риска) не очень хорошо.
2) Для двумерного и многомерного случая обобщение и "разложение" через одномерное решение не очевидно.
3) Для многомерного случая возникает вопрос об эффективности алгоритма (кол-во точек в пространстве становится: 100 на 100 на 90 на 3).

Что делать? Какие книжки этому вопросу посоветуете?

Текущее решение:
к 2), 3) Использую одномерное решение. Существование других подпространств пока игнорирую.
к 1) Собираюсь сгладить 4-х точечные ступеньки с сильным скачком полиномом третьей степени, интерполяцией по крайним точкам и фитом по двум другим.

[Андрей1]

Вот такое чудо получается при сглаживание только по одному параметру:


-- Пт дек 02, 2011 15:58:21 --

4) Соседние частоты, вообще говоря, зависимые (в соседние оценки частот входит только часть несовпадающих данных). Но это влияет только на допустимую формулу усреднения: усредняю с весом, равным количеству несовпадающих данных.

[Андрей1]

1) На самом деле оказалось, что строгой монотонности во втором пространстве нет, тем не менее, в нем может быть не более одного максимума и не более одного минимума в заданной области.
2) Приблизительной монотонности оказалось легко добиться с помощью ядерного сглаживания (на дискретных значениях).