Модифицированный метод Ньютона для краевой задачи

[ShMaxG]

Требуется применить этот метод для решения краевой задачи:

$\[x''\left( t \right) + \left( {1 + {t^2}} \right)x\left( t \right) = 0\]$, $\[x\left( 0 \right) = \alpha \]$, $\[x\left( 1 \right) = \beta \]$.

Я ввел 2 банаховых пространства $X$ и $Y$ и отображение $\[f:X \to Y\]$:

$\[f\left( x \right)\left( t \right) = \left( \begin{array}{c} x''\left( t \right) + \left( {1 + {t^2}} \right)x\left( t \right) \\ x\left( 0 \right) - \alpha \\ x\left( 1 \right) - \beta \\ \end{array} \right)\]$.

Модифицированная последовательнось Ньютона:

$\[{x_n} = {x_{n - 1}} - f'\left( {{x_0}} \right)f\left( {{x_{n - 1}}} \right)\]$,

где $\[{x_0}\]$ - начальное приближение, $\[f'\left( {{x_0}} \right)\]$ -- производная Фреше оператора $\[f\]$.

Производная Фреше равна:

$\[f'\left( {{x_0}} \right)z = f\left( {{x_0} + z} \right) - f\left( {{x_0}} \right) = \left( \begin{array}{c} z''\left( t \right) + \left( {1 + {t^2}} \right)z\left( t \right) \\ z\left( 0 \right) \\ z\left( 1 \right) \\ \end{array} \right)\]$.

Видно, что она от $x_0$ не зависит, но это и понятно, так как оператор $f$ линейный. Это приводит к тому, что константа Липшица для производной Фреше может быть выбрана любой: $\[0 \equiv \left\| {f'\left( {{x_2}} \right) - f'\left( {{x_1}} \right)} \right\| \le l\left\| {{x_2} - {x_1}} \right\|\]$, в том числе сколь угодно малой.

Предположим, что существует обратный оператор $\[f'{\left( {{x_0}} \right)^{ - 1}}\]$. Это значит, что однозначно разрешимо уравнение: $\[f'\left( {{x_0}} \right)z = h\]$.

А теперь самое интересное. Скорость сходимости $\[\left\| {{x^*} - {x_n}} \right\| \le AB\frac{{1 - \sqrt {1 - 2lA{B^2}} }}{{\sqrt {1 - 2lA{B^2}} }}\]$. Здесь $\[A = \left\| {f\left( {{x_0}} \right)} \right\|\]$, $\[B = \left\| {f'{{\left( {{x_0}} \right)}^{ - 1}}} \right\|\]$. Правая часть может быть сделана сколь угодно малой, при уменьшении $l$. Это значит, что уже первая итерация должна давать точное решение!

Я попытался выяснить, почему так происходит. И, ясное дело, оказалось, что для вычисления $\[f'\left( {{x_0}} \right)f\left( {{x_{n - 1}}} \right)\]$, где, например, $\[{x_0} \equiv 0\]$ приходится решать почти ровно то же уравнение, что дано нам в условии. Замкнутый круг.

В связи с этим вопросы, в разрешении которых я прошу помощи... Все ли правильно, что я написал? Если да, то дело в том, что диффур -- линейный? Поэтому константа Липшица равна нулю и метод становится неприменимым?

[Dan B-Yallay]

ShMaxG в сообщении #510180 писал(а):

$$\[f'\left( {{x_0}} \right)z = f\left( {{x_0} + z} \right) - f\left( {{x_0}} \right) = \left( \begin{array}{c} z''\left( t \right) + \left( {1 + {t^2}} \right)z\left( t \right) \\ z\left( 0 \right) \\ z\left( 1 \right) \\ \end{array} \right)\]$$

По моему $f'(x_0)z$ это не производная Фреше а его дифференциал, так как производная $f'$ "помножена на приращение" $z$.
А если по существу, то y вас $f(x)(t)$ - тождественно нуль.

[ShMaxG]

Dan B-Yallay в сообщении #510199 писал(а):

По моему $f'(x_0)z$ это не производная Фреше а его дифференциал,

Да, правильно, был немного неаккуратен.

Dan B-Yallay в сообщении #510199 писал(а):

А если по существу, то y вас $f(x)(t)$ - тождественно нуль.

Почему? $f$ сопоставляет функции икс вот такую вектор-функцию, не нулевую вообще говоря. Другое дело, что решение исходного уравнение удовлетворяет условию $f(x)=0$, к этому уравнению применяется метод.

[Oleg Zubelevich]

ShMaxG в сообщении #510180 писал(а):

Это значит, что уже первая итерация должна давать точное решение

ShMaxG в сообщении #510180 писал(а):

приходится решать почти ровно то же уравнение, что дано нам в условии. Замкнутый круг.

Именно так. Поэтому нет смысла решать линейные уравнения методом Ньютона. Выкладки не смотрел.

[MaximVD]

ShMaxG
Вероятно вы описались, потому что модифицированная последовательностью Ньютона имеет вид:

$$ x_n = x_{n-1} - (f'(x_0))^{-1}f(x_{n-1}). $$

ShMaxG в сообщении #510180 писал(а):

В связи с этим вопросы, в разрешении которых я прошу помощи... Все ли правильно, что я написал? Если да, то дело в том, что диффур -- линейный? Поэтому константа Липшица равна нулю и метод становится неприменимым?

Да, дело в том, что это дифференциальное уравнение линейно. Метод Ньютона придуман для решения нелинейных уравнений и, как правило, при применении метода Ньютона на каждом шаге необходимо решать линейное уравнение. Поэтому применять этот метод для линейных уравнений бессмысленно. (Уже опередили)

[ShMaxG]

MaximVD в сообщении #510207 писал(а):

Вероятно вы описались, потому что модифицированная последовательностью Ньютона имеет вид:

$$ x_n = x_{n-1} - (f'(x_0))^{-1}f(x_{n-1}). $$

Да, я опечатался.

Oleg Zubelevich в сообщении #510203 писал(а):

Именно так. Поэтому нет смысла решать линейные уравнения методом Ньютона. Выкладки не смотрел.

MaximVD в сообщении #510207 писал(а):

Да, дело в том, что это дифференциальное уравнение линейно. Метод Ньютона придумат для решения нелинейных уравнений и, как правило, при применении метода Ньютона на каждом шаге необходимо решать линейное уравнение. Поэтому применять этот метод для линейных операторов бессмысленно. (Уже опередили)

Ага... Ну просто странно, что единственная задача в задании на этот метод -- и то, странная какая-то, поэтому на всякий случай на форуме и спросил.
Спасибо!

[Dan B-Yallay]

Dan B-Yallay в сообщении #510199 писал(а):

А если по существу, то y вас - тождественно нуль.

Сам не понял - с чего вдруг ляпнул.