Четыре секретных числа

[vivaldi]

Четыре попарно различных натуральных трёхзначных числа, начинающихся с одной и той же цифры, обладают тем свойством, что их сумма делится (без остатка) на три из них.
Что это за числа?

[kiyanyn]

108, 117, 135, 180

Сумма 540 делится на 108, 135, 180.

[vivaldi]

kiyanyn в сообщении #510043 писал(а):

108, 117, 135, 180

Сумма 540 делится на 108, 135, 180.

А доказать, что других нет?

[kiyanyn]

vivaldi в сообщении #510046 писал(а):

kiyanyn в сообщении #510043 писал(а):

108, 117, 135, 180

Сумма 540 делится на 108, 135, 180.

А доказать, что других нет?

"Учитэл, клянус!"

Ну, например, очевидные вещи - пусть сумма S при делении дает три целых числа $k<l<m$. Ясно, что
$400(n+1) > S \ge 400n$, $100(n+1)>S(1-{1\over k} - {1\over l} - {1\over m})\ge 100n$, $({1\over k}+{1\over l}+{1\over m} < 1)$ (n - первая цифра чисел). Достаточно просто получается ограничение на k (мне трудно набирать в TeX'е, нет привычки, так что промежуточные выкладки - самостоятельно...) $2n < k < {{12n}\over {3n-1}}$, откуда сразу n = 1, а k - только 3, 4 или 5.

Из $100k(n+1) > S \ge 100kn$ и $100m(n+1) > S \ge 100mn$
имеем с учетом $n=1$ что $m < 2k$, так что остается так мало вариантов, что тут уже можно и перебором

Кстати, неужто в нынешнее время такие задачи надо только вручную считать?..