Задача по диффгему (гладкие подмногообразия)

[3.14]

Здравствуйте..Я плохо понял что такое гладкое подмногообразие(( помогите с такой задачей(легкая вроде): Будут ли гладкими подмногообразиями граница квадрата и восьмерка в $\mathbb{R}^2$?

[alcoholist]

Восьмерку и квадрат можно рассматривать как отображения $S^1\to\mathbb{R}^2$.

Гладенькая восьмерочка будет погруженным подмногообразием (из-за точки самопересечения). А квадрат не будет никаким подмногообразием -- в четырех точках нет касательной.

[3.14]

спасибо...блин, нужно хорошо еще раз разобраться с этими подмногообразиями..

[alcoholist]

Я пользуюсь таким определением: подмножество $N\subset M^n$ является гладким (вложенным) подмногообразием размерности $k$, если
$\forall x\in N$ найдется открытая окрестность $U\subset M$ и диффеоморфизм $h:U\to \mathbb{R}^n$, что $h(U\cap N)=\mathbb{R}^k=\{(x_1,\ldots,x_n)\in \mathbb{R}^n:\,x_{k+1}=\ldots=x_n=0\}$.

Ясно, что дифференциал отображения $h^{-1}$ в точке $h(x)$ переводит плоскость $\mathbb{R}^k$ в касательное подпространство $T_xN$. Поэтому у подмногообразия имеется касательное пространство в каждой точке.

И наоборот, если касательные к кривым в $N$, проходящие через точку $x\in N$, образуют линейное пространство $T_xN$ размерности $k$, то ортогональная проекция пересечения $N\cap B_{a}(x)$ (маленький шарик радиуса $a$ с центром в $x$) на это линейное пространство (в любой карте покрывающей данную точку) продолжается до диффеоморфизма $h:U\to \mathbb{R}^n$, что $h(U\cap N)=\mathbb{R}^k\{(x_1,\ldodt,x_n)\in \mathbb{R}^n:\,x_{k+1}=\ldots=x_n=0\}$.

[mdn]

Восьмерка не является многообразием, точка самопересечения не имеет окрестности, гомеоморфной $\mathbb{R}$.

[alcoholist]

mdn в сообщении #510040 писал(а):

Восьмерка не является многообразием, точка самопересечения не имеет окрестности, гомеоморфной $\mathbb{R}$.

Погруженным -- является. Дифференциал отображения окружности в плоскость $t\mapsto (\sin{2t},2\cos t)$ инъективен в каждой точке.

[mdn]

alcoholist в сообщении #510090 писал(а):

Дифференциал отображения окружности в плоскость $t\mapsto (\sin{2t},2\cos t)$ инъективен в каждой точке.

Согласен, восьмерка является результатом погружения окружности в плоскость.

alcoholist в сообщении #509636 писал(а):

Я пользуюсь таким определением: подмножество $N\subset M^n$ является гладким (вложенным) подмногообразием размерности $k$, если
$\forall x\in N$ найдется открытая окрестность $U\subset M$ и диффеоморфизм $h:U\to \mathbb{R}^n$, что $h(U\cap N)=\mathbb{R}^k=\{(x_1,\ldots,x_n)\in \mathbb{R}^n:\,x_{k+1}=\ldots=x_n=0\}$.

Предъявите диффеоморфизм $h$ для окрестности точки самопересечения.