Интересный ряд

[Jew]

Доброй ночи, уважаемые

$\sum(\frac{1+\cos x}{2+\cos x})^{2 n - \ln n}$

Я не тунеядец. Пытался исследовать, порассуждал. Вот что вышло..
$\frac{1+\cos x}{2+\cos x}$ Принадлежит промежутку от $0$ до $\frac{2}{3}$. А предел степени при $n\to \infty$ равен $2$. Следовательно, по радикальному признаку Коши ряд сходится, т.к. значение $\sqrt[n]{(\frac{1+\cos x}{2+\cos x})^{2 n - \ln n}}$ меньше единицы. С другой стороны, насколько я понял, невозможно рассчитать предел от общего члена ряда при $n\to \infty$, а если он не равен нулю, то все не имеет смысла.

Выскажите свое мнение по этому поводу.

Заранее благодарен.

[myra_panama]

$\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{(\frac{1+\cos x}{2+\cos x})^{2 - \frac{\ln n}{n}}}\le\lim\limits_{n\to\infty}(\frac23)^{2-\frac{\ln n}{n}}=\frac49<1$

[myra_panama]

Цитата:

$\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{(\frac{1+\cos x}{2+\cos x})^{2 - \frac{\ln n}{n}}}\le\lim\limits_{n\to\infty}(\frac23)^{2-\frac{\ln n}{n}}=\frac49<1$

Опечатка
$\lim\limits_{n\to\infty}{(\frac{1+\cos x}{2+\cos x})^{2 - \frac{\ln n}{n}}}\le\lim\limits_{n\to\infty}(\frac23)^{2-\frac{\ln n}{n}}=\frac49<1$

[alcoholist]

если $a_n^{1/n}\to a<1$, то $a_n<\left(\frac{1+a}{2}\Right)^n$ начиная с некоторого $n$. Поэтому $a_n\to 0$