Решения уравнений Максвелла для электрического диполя

[apv]

Решения уравнения Максвелла для диполя в волновой зоне в сферической СК имеют вид для магнитного поля :
$B_{\varphi} (\rho, \theta, \varphi) = k^2 p \sin(\theta) \dfrac{e^{-ik\rho+i\omega t}}{\rho}$
Если теперь подставить это решение в волновое уравнение
$\Delta B_{\varphi} = \dfrac{k^2}{\omega^2} \dfrac{{{\partial ^2}B_{\varphi}}}{{\partial {t^2}}}$
где $\Delta$ - лапласиан в сферической СК
То у меня получилось:
$\Delta B_{\varphi} = 1/4\,{\dfrac {{k}^{2}p{{e}^{-i \left( k\rho-\omega\,t \right) }} \left( -1+2\, \cos ^2 \theta -{k}^{2} {\rho}^{2}+{k}^{2}{\rho}^{2} \cos^2 \theta \right) }{\sin \left( \theta \right) \pi \,{\rho}^{3}}} $

что, очевидно не равно правой части, которая есть

$\dfrac{k^2}{\omega^2} \dfrac{{{\partial ^2}B_{\varphi}}}{{\partial {t^2}}}=-1/4\,{\dfrac {p{k}^{2}{{e}^{-ik\rho+i\omega\,t}}}{\pi \,\rho}}$

Чего я недоглядел?

[Ilia_]

А вы учли, что лапласиан $\varphi$-той компоненты не равен $\varphi$-той компоненте лапласиана? Там вычитается ещё несколько членов.

$$(\Delta B)_\varphi = \Delta B_\varphi - \frac{B_\varphi}{r^2\sin^2\theta}+\frac{2}{r^2\sin\theta}\frac{\partial B_r}{\partial \varphi}+\frac{2\cos\theta}{r^2\sin^2\theta}\frac{\partial B_\theta}{\partial \varphi}$$

Вообще в Википедии есть очень удобная страница.

[apv]

Да, спасибо, немножко дело улучшилось, но...
Поскольку $B_{\rho}=B_{\theta}=0$, то
$(\Delta B)_{\varphi}=-1/4\,{\dfrac {\sin \theta \left( 2+{k}^{2}{\rho}^{2} \right) p{{e}^{-i \left( k\rho-\omega\,t \right) }}}{\pi \,{\rho}^{3}}}$

Какая-то двойка в скобках мешает жить.

[Ilia_]

Ладно, давайте посчитаем.

$$B_\varphi(\rho,\theta)=k^2p\sin\theta\frac{e^{ik\rho+i\omega t}}{\rho}$$

$$(\Delta B)_\varphi = \Delta B_\varphi - \frac{B_\varphi}{\rho^2\sin^2\theta} = \frac1{\rho^2}\frac\partial{\partial\rho}\rho^2\frac{\partial B_\varphi}{\partial\rho}+\frac1{\rho^2\sin\theta}\frac\partial{\partial\theta}\sin\theta\frac{\partial B_\varphi}{\partial\theta} - \frac{B_\varphi}{\rho^2\sin^2\theta}=$$

$$= \frac{k^2p \sin\theta }{\rho^2}\frac\partial{\partial\rho}e^{ik\rho+i\omega t}\left(ik\rho-1\right)+\frac{k^2p\ e^{ik\rho+i\omega t}}{\rho^3\sin\theta}\frac\partial{\partial\theta}\sin\theta\cos\theta - \frac{k^2p\ e^{ik\rho+i\omega t}}{\rho^3\sin\theta}=$$

$$= \frac{k^2p \sin\theta\ e^{ik\rho+i\omega t}}{\rho^2}(ik-ik-k^2\rho)+\frac{k^2p\ e^{ik\rho+i\omega t}}{\rho^3\sin\theta}(\cos 2\theta-1)=$$

$$=\frac{k^2p\ e^{ik\rho+i\omega t}}{\rho^3\sin\theta}\left(-k^2\rho^2\sin^2\theta-2\sin^2\theta \right)=-\frac{k^2p\sin\theta\ e^{ik\rho+i\omega t}}{\rho^3}(2+k^2\rho^2)$$

Уффф. Долго писал. В волновой зоне $k\rho\gg 1$. Осталось:

$$(\Delta B)_\varphi\approx-\frac{k^4p\sin\theta\ e^{ik\rho+i\omega t}}{\rho}$$

Теперь правая часть. Тут всё совсем просто. Из двойного дифференцирования по $t$ вылетает $-\omega^2$, которая сокращается со знаменателем.

$$\dfrac{k^2}{\omega^2} \dfrac{{{\partial ^2}B_{\varphi}}}{{\partial {t^2}}}=-\frac{k^4p\sin\theta\ e^{ik\rho+i\omega t}}{\rho}$$

Всё.
PS. А откуда $1/4\pi$ у вас появилась? Из СИ, что ли? Или вы её просто в первой формуле забыли написать?
PPS. Только написав всё это обнаружил, что мог ответить одной фразой: "в волновой зоне $k^2\rho^2\gg 2$". Ну да ладно, заодно ваши выкладки восстановил.

[apv]

Ilia_ в сообщении #509434 писал(а):

Всё. И откуда $1/4\pi$ у вас появилась? Из СИ, что ли?

Да, описка.

Ilia_ в сообщении #509434 писал(а):

PS. Только написав всё это обнаружил, что мог ответить одной фразой: "$k^2\rho^2\gg 2$"

Тогда не понимаю, почему в уравнении равенство должно быть приближенным, а не точным?

[Ilia_]

Цитата:

Тогда не понимаю, почему в уравнении равенство должно быть приближенным, а не точным?

Потому, что это не точное решение уравнения Максвелла для диполя, а решение уравнения Максвелла для диполя в волновой зоне. Скажем, более точным решением будет:

$$B_\varphi^{(2)}=\frac1{4\pi} k^2 p \sin(\theta) \dfrac{e^{-ik\rho+i\omega t}}{\rho}\cdot\left(1+\frac2{k^2\rho^2}\right)$$

Если подставить его в уравнение, можно найти поправку следующей малости по $k\rho$ и определить $B_\varphi^{(3)}$. В итоге, точное решение - сумма ряда, который в общем случае может быть и асимптотическим. Но в волновой зоне он сходится, и сходится достаточно быстро, поэтому для достижения требуемой точности оставляем столько членов, сколько нужно. В жизни, как правило, хватает первого члена. Его вам и выписали.

[apv]

Хорошо, но почему решение, которое по-сути тоже есть приближенное
$B_{\varphi}=\dfrac{k^2p\sin \theta }{\rho} \left( 1-{\dfrac {i}{k\rho}} \right) {{e}^{-ik\rho+i\omega t}}$
удовлетворяет точному равенству?

З.Ы. Решения я взял в комплексной форме из Дж. Джексона Классическая электродинамика

[Ilia_]

Если решение удовлетворяет точному равенству, то это точное решение. А оно удовлетворяет.

$$B_\varphi(\rho,\theta)=k^2p\sin\theta\frac{e^{-ik\rho+i\omega t}}{\rho}\left(1-\frac i{k\rho}\right)$$

$$(\Delta B)_\varphi = \Delta B_\varphi - \frac{B_\varphi}{\rho^2\sin^2\theta} = \frac1{\rho^2}\frac\partial{\partial\rho}\rho^2\frac{\partial B_\varphi}{\partial\rho}+\frac1{\rho^2\sin\theta}\frac\partial{\partial\theta}\sin\theta\frac{\partial B_\varphi}{\partial\theta} - \frac{B_\varphi}{\rho^2\sin^2\theta}=$$

$$= \frac{k^2p \sin\theta }{\rho^2}\frac\partial{\partial\rho}e^{-ik\rho+i\omega t}\left(-ik\rho-2+\frac{2i}{k\rho}\right)+\frac{k^2p\ e^{-ik\rho+i\omega t}}{\rho^3\sin\theta}\left(1-\frac i{k\rho}\right)\cos2\theta - \frac{k^2p\ e^{-ik\rho+i\omega t}}{\rho^3\sin\theta}\left(1-\frac i{k\rho}\right)=$$

$$= \frac{k^2p \sin\theta\ e^{-ik\rho+i\omega t}}{\rho^2}\left(-ik+2ik-k^2\rho+\frac{2}{\rho}-\frac{2i}{k\rho^2}\right)-\frac{k^2p\sin\theta\ e^{-ik\rho+i\omega t}}{\rho^3}\cdot 2\left(1-\frac i{k\rho}\right)=$$

$$=-\frac{k^2p\ e^{-ik\rho+i\omega t}}{\rho^3}\left(k^2\rho^2-ik\rho-2+\frac{2i}{k\rho}+2-\frac{2i}{k\rho} \right)=-\frac{k^4p\ e^{-ik\rho+i\omega t}}{\rho}\left(1-\frac i{k\rho} \right)$$

В моих выкладках ошибка была. Не тот знак у $ik\rho$ взял, поэтому не та поправка и вылезла.
В данном случае ряд оказался всего из двух ненулевых членов. Но рассуждений о том, что в волновой зоне можно учитывать только один из них (а в ближней зоне - другой) это не отменяет.

[apv]

Ilia_ в сообщении #509562 писал(а):

Если решение удовлетворяет точному равенству, то это точное решение.

Решение диполя - это приближенное решение. Поэтому мое недоумение вызвало то, что одно приближенное решение не удовлетворяет точному равенству, а друго - удовлетворяет.

Ilia_ в сообщении #509562 писал(а):

В данном случае ряд оказался всего из двух ненулевых членов. Но рассуждений о том, что в волновой зоне можно учитывать только один из них (а в ближней зоне - другой) это не отменяет.

Ну если ряд состоин всего из двух ненулевых членов, то тогда понятно. А как вы раскладывали в ряд?

[Ilia_]

apv в сообщении #509584 писал(а):

Решение диполя - это приближенное решение. Поэтому мое недоумение вызвало то, что одно приближенное решение не удовлетворяет точному равенству, а друго - удовлетворяет.

Это разные приближения. Когда мы говорим, что учитывать будем только дипольный момент системы - это одно приближение, приближение в постановке задачи. Задачу об излучении одного диполя (приближённую задачу!) эта формула решает точно.

Когда же мы говорим, что работать будем в волновой зоне - это уже другое приближение, приближение в решении задачи. И пользуясь этим приближением, мы можем упростить выражение. Упрощённое выражение решает задачу приближённо.

PS. А вообще, всё можно сформулировать совсем просто: дипольное приближение - приближение в граничных условиях. Приближение волновой зоны - приближение в уравнении.

Цитата:

Ну если ряд состоин всего из двух ненулевых членов, то тогда понятно. А как вы раскладывали в ряд?

Члены ряда находим последовательными итерациями. Взяли решение нулевого приближения, подставили в уравнение. Посмотрели, что надо добавить, чтобы убрать старший неубирающийся член. Добавили. Получили формулу с двумя членами. Подставили. Увидели, что неубирающихся членов нет. Сделали вывод, что в ряд больше дописывать ничего не надо - решение уже точное.

Если бы мы брали решение уравнений Максвелла со сходящейся волной $\left( e^{ik\rho+i\omega t}\right)$, как это сделал по ошибке я, то там бы ряд мог и не оборваться.

Вообще, оборвётся ли ряд или нет, сильно зависит от начального приближения. Чем оно ближе по структуре к точному решению, тем лучше.

[apv]

Ilia_ в сообщении #509594 писал(а):

Это разные приближения. Когда мы говорим, что учитывать будем только дипольный момент системы - это одно приближение, приближение в постановке задачи. Задачу об излучении одного диполя (приближённую задачу!) эта формула решает точно.Когда же мы говорим, что работать будем в волновой зоне - это уже другое приближение, приближение в решении задачи. И пользуясь этим приближением, мы можем упростить выражение. Упрощённое выражение решает задачу приближённо.

Я считал что для того, чтобы расчитать поле диполя, его нужно расматривать только на больших расстояниях от него (вспомните задачу на расчет статического поля диполя). Поэтому по вашей классификации, расчет поля диполя - это приближение в решении задачи (поскольку мультиполей высших порядков нету), а тогда, чем дальше поле мы будем расчитывать, тем точнее у нас должно получаться равенство.

[Ilia_]

apv в сообщении #509616 писал(а):

Я считал что для того, чтобы расчитать поле диполя, его нужно расматривать только на больших расстояниях от него (вспомните задачу на расчет статического поля диполя). Поэтому по вашей классификации, расчет поля диполя - это приближение в решении задачи (поскольку мультиполей высших порядков нету), а тогда, чем дальше поле мы будем расчитывать, тем точнее у нас должно получаться равенство.

Ограничиваясь дипольным приближением, мы, фактически, накладываем граничное условие: при $\rho\rightarrow 0$ поле стремится к полю точечного диполя. Сами уравнения Максвелла мы при этом не модифицируем. Естественно, точное решение такой задачи удовлетворяет уравнениям Максвелла точно.

В волновой зоне, мы говорим, что нас интересует только старший по $k\rho$ член. Таким образом, мы "загрубляем" сами уравнения Максвелла, требуя равенства лишь с точностью до члена со следующим порядком малости.

$$(\Delta B)_\varphi-\frac{k^2}{\omega^2}\frac{\partial^2 B_\varphi}{\partial t^2}=o\left(B_\varphi\right)$$

Решение такого приближённого уравнения не обязано удовлетворять точному уравнению. Хотя, в принципе, и может.

[apv]

Спасибо за объяснения, до меня смысл сказанного потихоньку начинает доходить.
Конечно, от дипольного решения я ожидал, что оно в волновой зоне будет похожим на уравнение сферической волны (если бы не тот $\sin \theta$), а уравнение сферической волны, точно удовлетворяет уравнению Даламбера. Получается, что если бы диполь был сферически-симметтричной штукой, то все было бы ок, но поскольку нет, то сферическая волна вдалеке от него нам только снится, отсюда, собственно, и проблема.