Каких чисел больше?

[vivaldi]

Назовем "К+ числом" натуральное число, являющееся суммой попарно различных слагаемых вида $2^n-1$, а "К- числом" - остальные натуральные числа. Каких чисел в первой тысяче натуральных чисел больше: "К+" или "К-"?(Б.Н. Кукушкин)

(Оффтоп)

А вот отзыв о Кукушкине, написанный Ксюшей: http://prepodam.net/teacher/858

[Хорхе]

(решение)

Легко посчитать количество таких чисел, не превышающих $1 + 3 + 7 + 15 + 31 + 63 + 127 + 255 + 511 = 1 013$, их $511$. Очень легко проверить, что, например, $1011$, $1008$ и $1007$ не представимы в таком виде, ну и все, наших больше.

Впрочем, что уж там, наших и точно посчитать можно: очевидно, от $1001$ до $1013$ ровно восемь чисел представимы, потому меньше тысячи наших ровно $503$.