Постановка задачи о диффузии в полупроводнике.

[fixinf]

Добрый день, уважаемые форумчане!
Хочу попросить вас указать на ошибки при решении и помочь поставить граничные условия для задачи о диффузии носителей заряда в однородном, собственном полупроводнике.
Рассматриваю одномерную диффузию, и из уравнения непрерывности (или сохранения заряда), получить систему диффузионных уравнений для электронов и дырок, пока что не рассматривая граничные условия.
Я рассуждаю так.

Для электронов(концентрация $n_0 + u$, где $u$ - избыточная концентрация) и дырок($p_0$ и $v$ соответственно) можно написать выражения для токов (вдоль оси x)
$j_e(x)=-eD_e \frac{\partial u}{\partial x} - e \mu_e (n_0+u)E(x,t) $
$j_p(x)=-eD_p \frac{\partial v}{\partial x} + e \mu_p (p_0 + v) E(x,t)$ c учётом направления токов.
Тогда из $\frac{\partial \rho}{\partial t}=-\operatorname{div} \bold{j}$ получается
$\frac{\partial u}{\partial t} = D_e \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \mu_e(n_0+u)\frac{\partial E}{\partial x} + mu_e E \frac{\partial u}{\partial x} - \frac{n_0+u}{\tau_e}$ и аналогичное для дырок
$\frac{\partial v}{\partial t} = D_p \frac{\partial^2 v}{\partial x^2} - \mu_p(p_0+v)\frac{\partial E}{\partial x} - mu_p E \frac{\partial v}{\partial x} - \frac{p_0+u}{\tau_p}$, где $\tau_e,\tau_p$ - соответственно времена жизни электронов и дырок, введённые для описания их рекомбинации.
Ко всему этому добавляется уравнение поля $\operatorname{div}\bold{E} = \frac{\partial E_x}{\partial x} =\frac{4\pi\rho}{\varepsilon} = \frac{4\pi e (p_0 +v - (n_0+u))}{\varepsilon}$

А теперь пусть к куску этого полупроводника от $0$ до $l$ приложена постоянная разность потенциалов $U_0$ и с одного конца инжектируются электроны, а с другого - дырки. Пусть начальные $u(x,0)=v(x,0)=0$.Как поставить граничные условия для $E_x$ и избыточных концентраций?
И ещё, честно говоря, не очень понимаю смысл термина "инжекция", в применении к постановке граничных условий. Не могли бы объяснить?
Заранее благодарю за помощь.

[Александр Т.]

fixinf в сообщении #508647 писал(а):

Для электронов(концентрация $n_0 + u$, где $u$ - избыточная концентрация) и дырок($p_0$ и $v$ соответственно) можно написать выражения для токов (вдоль оси x)
$j_e(x)=-eD_e \frac{\partial u}{\partial x} - e \mu_e (n_0+u)E(x,t) $
$j_p(x)=-eD_p \frac{\partial v}{\partial x} + e \mu_p (p_0 + v) E(x,t)$ c учётом направления токов.
Тогда из $\frac{\partial \rho}{\partial t}=-\operatorname{div} \bold{j}$ получается
$\frac{\partial u}{\partial t} = D_e \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \mu_e(n_0+u)\frac{\partial E}{\partial x} + mu_e E \frac{\partial u}{\partial x} - \frac{n_0+u}{\tau_e}$ и аналогичное для дырок
$\frac{\partial v}{\partial t} = D_p \frac{\partial^2 v}{\partial x^2} - \mu_p(p_0+v)\frac{\partial E}{\partial x} - mu_p E \frac{\partial v}{\partial x} - \frac{p_0+u}{\tau_p}$, где $\tau_e,\tau_p$ - соответственно времена жизни электронов и дырок, введённые для описания их рекомбинации.

Из одного уравнения нельзя получить два уравнения (по крайней мере, в данном случае). Эти два уравнения (во втором из которых, как я понимаю, допущена опечатка — вместо $\frac{p_0+v}{\tau_p}$ написано $\frac{p_0+u}{\tau_p}$) следуют из уравнений баланса концентрации соответственно для электронов и дырок

$$ \dfrac{\partial u}{\partial t} = - \operatorname{div} \dfrac{\bold{j}_e}{e} - \dfrac{n_0+u}{\tau_e} ,\quad \dfrac{\partial v}{\partial t} = - \operatorname{div} \dfrac{\bold{j}_p}{e} - \dfrac{p_0+v}{\tau_p} . $$

А из уравнения $\dfrac{\partial \rho}{\partial t}=-\operatorname{div} \bold{j}$ следует (если у Вас все написано правильно), что $\dfrac{p_0+v}{\tau_p}=\dfrac{n_0+u}{\tau_e}$.

Цитата:

А теперь пусть к куску этого полупроводника от $0$ до $l$ приложена постоянная разность потенциалов $U_0$ и с одного конца инжектируются электроны, а с другого - дырки. Пусть начальные $u(x,0)=v(x,0)=0$.Как поставить граничные условия для $E_x$

$$ \int\limits_0^l E_x \mathrm{d} x = - U_0 . $$

Цитата:

... и избыточных концентраций?
И ещё, честно говоря, не очень понимаю смысл термина "инжекция", в применении к постановке граничных условий.

Скорее всего, имеется в виду, что на том конце, где инжектируются электроны задан $j_e$, а где инжектируются дырки — $j_p$.