Условная сходимость периодических сумм

[kto_vinovat]

Добрый день,

Следующая задача возникла при осмыслении суммирования упругих полей в задаче дислокационной динамики. Скажем, имеется N дислокаций в расчетной ячейке, требуется найти сумму напряжений, действующих на заданную дислокацию.

Имеется функция вида

$\sigma(x_{ij},y_{ij}) = y_{ij}(x_{ij}^2-y_{ij}^2)/(x_{ij}^2+y_{ij}^2)$

Здесь $x_{ij}$ и $y_{ij}$ периодичны с периодом L. Как видим, функция медленно убывает при увеличении $x_{ij}$ и $y_{ij}$, что приводит к тому, что сумма

$\sigma = \Sigma \sigma(x_{ij},y_{ij})$

сходится условно.

Нужно найти способ расчета таких сумм так, чтобы результат не зависел от размера системы.
В наличии имеются методы Эвальда (Ewald sums), метод мультипольного разложения (Fast Multipole Methods), однако, как их применить сюда, я не знаю.
Может быть, кто-нибудь поможет разобраться?

[kto_vinovat]

Насколько я понимаю, можно свести двухмерные периодические суммы к одномерным:

$\sigma = \Sigma (y_{ij} + nL)(x_{ij}^2 - (y_{ij} + nL)^2)/(x_{ij}^2 + (y_{ij} + nL)^2) + \Sigma y_{ij}((x_{ij} + nL)^2 - y_{ij}^2)/((x_{ij} + nL)^2 + y_{ij}^2)$

И дальше проводить операции уже с ними. Или я не прав?