Требуется помощь! Теор. Вер., СВ, норм. распределение.

[final_sleep]

Товарищи форумчане, помогите разобраться глупому студенту.

Вот собственно задача:
1. Случайная величина $\xi$ имеет нормальное распределение с математическим ожиданием $a$ и дисперсией $\sigma^{2}$. Найти распределение случайной величины $sign (\xi)$.

Как делал я : Я попытался найти вероятность попадания $\xi$ в промежутки $(-\infty,0)$,$(0,+\infty)$ и точку $\lbrace0\rbrace}$. $sign$ у нас же функция с счетным числом числом значений, а именно с 3-мя значениями и поэтому я попытался применить дискретное распределение.
Вероятности считал так:
Для промежутка $(-\infty,0)$:
$P(A_{1})=P(-\infty<x<0)=\Phi^{*} (\frac{0-a}{\sigma})-\Phi^{*} (-\infty)=\Phi^{*} (-\frac{a}{\sigma})-0=\Phi^{*} (-\frac{a}{\sigma})= =\frac{x e^{-\frac{a^{2}}{2\sigma^{2}}}}{\sigma \sqrt{2\pi}}$

Для промежутка $\lbrace0\rbrace}$:
$ P(A_{2})=P(x=0)=\Phi^{*} (\frac{0-a}{\sigma})=\Phi^{*} (-\frac{a}{\sigma})=\Phi^{*} (-\frac{a}{\sigma})=\frac{x e^{-\frac{a^{2}}{2\sigma^{2}}}}{\sigma \sqrt{2\pi}}$

Для промежутка $(0,+\infty)$:
$P(A_{3})=P(0<x<+\infty)=\Phi^{*} (+\infty)-\Phi^{*} (\frac{0-a}{\sigma})=1-\Phi^{*} (-\frac{a}{\sigma})= 1 - \frac{x e^{-\frac{a^{2}}{2\sigma^{2}}}}{\sigma \sqrt{2\pi}} = \frac{\sigma \sqrt{2\pi} - x e^{-\frac{a^{2}}{2\sigma^{2}}}}{\sigma \sqrt{2\pi}}$.

Но это абсолютно неверно, не потому что ответ не такой, а потому что накосячил.
Прошу помочь ибо окончательно запутался.
Заранее большое спасибо!

[svv]

Вероятность попадания в точку 0 (как и в любую другую точку, не интервал) равна нулю.

Функция распределения для нормального распределения не выражается в конечном виде через элементарные функции.

[final_sleep]

Вы правы, я же написал что там неверно. Ход мыслей просто.
Как мне прийти к решению? Сама идея нужна очень, ибо у меня они закончились.

[freedom_of_heart]

оО
Вот так покрасивши будет $Y=\operatorname{sign} X$

Подписываюсь на эту тему)

Можно я тут тоже буду писать свои идеи?

(ерунда)

У меня есть идея преобразовать плотность по формуле :

$f_X$ -- плотность нормального распределения.

$f_Y(y) = f_X\left(g^{-1}(y)\right) \left\vert \dfrac{dg^{-1}}{dy}(y)\right\vert$.

Но как найти функцию, обратную $(\operatorname{sign}x)$ ?

Есть еще вариант -- написать функцию распределения и как-нибудь через опредедение функции распределения через вероятность доехать до сигнума)

[svv]

$P(\operatorname{sign}x=-1)=P(-\infty<x<0)=\Phi(-\frac a {\sigma})$
$P(\operatorname{sign}x=0)=P(x=0)=0$
$P(\operatorname{sign}x=+1)=P(0<x<+\infty)=1-\Phi(-\frac a {\sigma})$
И всё.
А что значит звездочка возле $\Phi$?

[freedom_of_heart]

А какая плотность распределения будет тогда? $f(Y)=0$ везде?

(Оффтоп)

Пойду спать, надеюсь что-то с утра хорошее тут увидеть

[final_sleep]

$F(x)=\Phi^{*}(\frac{x-a}{\sigma})$
По Вентцелю мы так условились обозначать нормальную функцию распределения.



svv, получается я тупо перемудрил?

[svv]

freedom_of_heart писал(а):

А какая плотность распределения будет тогда? $f(Y)=0$ везде?

Вроде бы дискретные случайные величины не имеют плотности. Точно не знаю.

final_sleep писал(а):

svv, получается я тупо перемудрил?

Да, в том, что пытались ещё что-то сделать с $\Phi^*$. Это -- обозначение для интеграла, который в элементарных функциях не берется.

[final_sleep]

freedom_of_heart, абсолютно точно дискретные величины не имеют плотности, так как не являются абсолютно непрерывными!

-- 26.11.2011, 02:12 --

svv, спасибо огромное за помощь, а то я бы и дальше мудрил.

[freedom_of_heart]

final_sleep в сообщении #508184 писал(а):

freedom_of_heart, абсолютно точно дискретные величины не имеют плотности, так как не являются абсолютно непрерывными!

Ок, спасибо!

А если мы хотим посчитать коэффициент корреляции случайных величин $X$ и $Y=\operatorname {sign}X$, где $X$ распределена нормально, как его считать?

(Оффтоп)

Ведь, если по формуле через ковариацию, получается неопределенность $[0/0]$, это если плотность сигнума считать нулем

[svv]

(Оффтоп)

freedom_of_heart, когда уходите спать, выключайте компьютер. Иначе он продолжает без Вас строчить вопросы от Вашего имени.

Хороший вопрос. К специалистам.

[freedom_of_heart]

svv в сообщении #508186 писал(а):

Хороший вопрос. К специалистам.

Я пока не поняла, что вы там написали про функцию Лапласа, но потом разберусь, ок

(Оффтоп)

Действительно, я еще раньше хотела пойти, сейчас уже иду. Это как без меня строчить оО Все, точно пойду спать!

[--mS--]

freedom_of_heart в сообщении #508185 писал(а):

А если мы хотим посчитать коэффициент корреляции случайных величин $X$ и $Y=\operatorname {sign}X$, где $X$ распределена нормально, как его считать?

(Оффтоп)

Ведь, если по формуле через ковариацию, получается неопределенность $[0/0]$, это если плотность сигнума считать нулем

Покажите, как пробовали считать, и откуда какие-то неопределённости.