все о малые в числителе в сравнении со знаменателем законно отброшены, после чего там остаётся тождественный ноль.
Не так шустро. Что значит "законно", "незаконно"?... Надо не юриспруденцией баловаться, а честно сохранять эти о-малые и в конце тупо делить их на знаменатель, тогда никаких угадаек не понадобится.
Лопиталить всё же проще, т.к. двукратно вложенные эквивалентности -- это всё-таки чуть-чуть неуютно, и слов для формального обоснования надо многовато. Пролопиталить же придётся всего лишь раз, причём безо всяких сложностей. (Не говоря уж о том, что правило Лопиталя -- понятие гораздо более элементарное, чем формула Тейлора.)
25.11.2011, 18:39 
-- и мгновенно получите первый замечательный предел.![$\lim \limits_{x \to 1} (3 \sqrt[3] {x}-2\sqrt{x}) ^ {\frac {1}{\ln x}}=
\lim \limits_{x \to 1} e ^ {\ln (3 \sqrt[3] {x}-2\sqrt{x}) ^ {\frac {1}{\ln x}}}
.
\lim \limits_{x \to 1} \frac {\ln (3 \sqrt[3] {x}-2\sqrt{x})} {\ln x} =
\lim \limits_{t \to 0} \frac {\ln (3 \sqrt[3] {t+1}-2\sqrt{t+1})} {\ln (t+1)} =
\lim \limits_{t \to 0} \frac {3 \sqrt[3] {t+1}-2\sqrt{t+1}-1} {t} =
\lim \limits_{t \to 0} \frac {3 (1+\frac {t}{3})-2(1+\frac {t}{2})-1} {t} =
\lim \limits_{t \to 0} \frac {3+t -2-t-1} {t} = \frac {0}{0}
$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/e/f/0efb3b3a8d05ec690e5cfb8536fce7fa82.png "$\lim \limits_{x \to 1} (3 \sqrt[3] {x}-2\sqrt{x}) ^ {\frac {1}{\ln x}}=
\lim \limits_{x \to 1} e ^ {\ln (3 \sqrt[3] {x}-2\sqrt{x}) ^ {\frac {1}{\ln x}}}
.
\lim \limits_{x \to 1} \frac {\ln (3 \sqrt[3] {x}-2\sqrt{x})} {\ln x} =
\lim \limits_{t \to 0} \frac {\ln (3 \sqrt[3] {t+1}-2\sqrt{t+1})} {\ln (t+1)} =
\lim \limits_{t \to 0} \frac {3 \sqrt[3] {t+1}-2\sqrt{t+1}-1} {t} =
\lim \limits_{t \to 0} \frac {3 (1+\frac {t}{3})-2(1+\frac {t}{2})-1} {t} =
\lim \limits_{t \to 0} \frac {3+t -2-t-1} {t} = \frac {0}{0}
$")
![$3\sqrt[3]{1+t}=3+t+O(t^2)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/8/8/38812d78024726e9947e73c4b17d31b882.png "$3\sqrt[3]{1+t}=3+t+O(t^2)$")
(ну или 
, это непринципиально). Причём делать это 
![$
\lim \limits_{t \to 0} \frac {\ln (3 \sqrt[3] {t+1}-2\sqrt{t+1})} {\ln (t+1)} =
\frac {\lim \limits_{t \to 0} {\ln (3+t+o(t) -2 - t+o(t))}}{ \lim \limits_{t \to 0} {\ln (t+1)}} =
\frac {0} {\lim \limits_{t \to 0} {\ln (t+1)}} =
\frac {0} {0}
$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/5/8/45804978db776c9a482f165788d4bc0b82.png "$
\lim \limits_{t \to 0} \frac {\ln (3 \sqrt[3] {t+1}-2\sqrt{t+1})} {\ln (t+1)} =
\frac {\lim \limits_{t \to 0} {\ln (3+t+o(t) -2 - t+o(t))}}{ \lim \limits_{t \to 0} {\ln (t+1)}} =
\frac {0} {\lim \limits_{t \to 0} {\ln (t+1)}} =
\frac {0} {0}
$")
![$\lim \limits_{x \to 1} \frac {\ln (3 \sqrt[3] {x}-2\sqrt{x})} {\ln x} = \lim \limits_{t \to 0} \frac {\ln (3 \sqrt[3] {t+1}-2\sqrt{t+1})} {\ln (t+1)} = $](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/4/6/c469196c276f4fe35aad91b545095c5d82.png "$\lim \limits_{x \to 1} \frac {\ln (3 \sqrt[3] {x}-2\sqrt{x})} {\ln x} = \lim \limits_{t \to 0} \frac {\ln (3 \sqrt[3] {t+1}-2\sqrt{t+1})} {\ln (t+1)} = $")
![$\lim \limits_{t \to 0} \frac {3 \sqrt[3] {t+1}-2\sqrt{t+1}-1} {t} = \lim \limits_{t \to 0} \frac {3 (1+\frac {t}{3})-2(1+\frac {t}{2})-1} {t} = $](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/0/7/7077cdffd3fa0b37d4a8a9fd802f513882.png "$\lim \limits_{t \to 0} \frac {3 \sqrt[3] {t+1}-2\sqrt{t+1}-1} {t} = \lim \limits_{t \to 0} \frac {3 (1+\frac {t}{3})-2(1+\frac {t}{2})-1} {t} = $")
А может всё же не зря? 
(ноль, делённый на тэ, отличный от нуля).
, если 
, а оно-таки не ноль.