Матрица и линейное отображение

[Hoaxer]

Найти все векторы пространства $\mathbb{R}^n$, переходящие в вектор $b\in\mathbb{R}^m$ при линейном отображении $\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^m$, заданном матрицей А.

$$ A = \begin{pmatrix} 1&-2&-1&-2&-3\\ 3&-6&-2&-4&-5\\ 3&-6&-4&-8&-13\\ 2&-4&-1&-1&-2 \end{pmatrix} ​$$​, $$ b = \begin{pmatrix} -2\\ -3\\ -9\\ -1 \end{pmatrix} ​$$​,

Решение:
1. Переписал в привычном виде линейного отображения: $\varphi(X) = x_{1}A^{1}+x_{2}A^{2}+x_{3}A^{}+x_{4}A^{4}+x_{5}A^{5} = b = (-2,-3,-9,-1)$
и теперь, как я понял, все сводиться к решению системы уравнений.
2. После нехитрых элементарных преобразований получил вот что: $\left\{ \begin{array}{r}x_1-2x_2-x_3-2x_4-3x_5=-2\\x_3+2x_4+4x_5=3\\x_4+0x_5=0\end{array} }\right$
А вот как показать векторы я не знаю. Подскажите...

В ответе записанно следующее:
Множество векторов вида : $(2,1,-1,0,1)+\alpha(1,0,4,0,-1)+\beta(0,1,-8,0,2)$

[ewert]

Hoaxer в сообщении #507401 писал(а):

Найти все векторы пространства $\mathbb{R}^n$, переходящие в вектор $b\in\mathbb{R}^m$ при линейном отображении $\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^m$, заданном матрицей А.

$$ A = \begin{pmatrix} 1&-2&-1&-2&-3\\ 3&-6&-2&-4&-5\\ 3&-6&-4&-8&-13\\ 2&-4&-1&-1&-2 \end{pmatrix} ​$$​, $$ b = \begin{pmatrix} -2\\ -3\\ -9\\ -1 \end{pmatrix} ​$$​,

Переведите лучше на человеческий язык: "найти все решения $\vec x$ системы уравнений $A\vec x=\vec b$" (или, что то же, найти общее решение этой системы). Эту задачку следует решать по шаблону методом Гаусса, манипулируя лишь расширенной матрицей системы, но ни в коем случае не выписывая её в явном виде, как Вы это зачем-то сделали. Ну сделали -- так сделали; теперь доводите метод Гаусса до конца.

[Hoaxer]

ewert, интересно ведь то, что я так и делал, и получил общий ответ:

$ \begin{array}{l}x_1=2x_2-x_5+3\\x_3=3-4x_5\\x_4=0\\x_2,x_5 \in \mathbb{R}\end{array}$,

мне интересно каким образом автор задачника записал ответ.

[ewert]

Очень просто: записать решение в виде

$\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\\x_5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2x_2-x_5+3\\x_2\\3-4x_5\\0\\x_5\end{pmatrix}$

и расщепить правую часть в сумму трёх столбцов, вынеся из них за скобки $x_2$ и $x_5$ и заменив их потом для пущей внятности на альфу и бету (какая разница, как обозначать свободные параметры). Только имейте в виду, что а) при разных последовательностях действий внешний вид ответа будет оказываться разным и б) независимо от этого Ваше решение очевидно неверно: из него следует, например, что решением будет столбец $(3,0,3,0,0)^T$, что явно неправда.

[Hoaxer]

ewert, да решения действительно неверно, но я уже разобрался в том как записать ответ и успел перерешать матрицу. Примного благодарен.

[ewert]

Hoaxer в сообщении #507429 писал(а):

успел перерешать матрицу.

В следующий раз ни в коем случае этого не делайте. Матрицу решить тоже невозможно.