Коммутативно, но не ассоциативно

[Naf2000]

Можно привести пример такой бинарной операции на некотором множестве, чтобы она удовлетворяла условию коммутативности, но не была ассоциативной?

[gris]

Запросто. Среднее арифметическое двух чисел.

[alcoholist]

Более сложный пример.

Рассмотрим умножение векторов в $\mathbb{R}^3$, заданное в координатах формулой

$$ (x,y,z)\star(x',y'z')=(xx'+xy'+y'x,yy'+yz'+zy',zz'+zx'+z'x). $$

Очевидно, оно коммутативно, но

$$ (0,1,0)\star\Bigl((1,0,0)\star(0,0,1)\Bigr)=(0,1,0)\star(0,0,1)=(0,1,0) $$

$$ \Bigl((0,1,0)\star(1,0,0)\Bigr)\star(0,0,1)=(1,0,0)\star(0,0,1)=(0,0,1) $$

Интересно, что это умножение дистрибутивно относительно линейных операций, что превращает $\mathbb{R}^3$ в коммутативную неассоциативную алгебру.

-- Чт ноя 24, 2011 11:15:04 --

(Оффтоп)

Залез в вики. Обнаружил забавные факты (и ведь не знал!):

Цитата:

Over the reals there are (up to isomorphism) only two unitary commutative finite-dimensional division algebras: the reals themselves, and the complex numbers. These are of course both associative. For a non-associative example, consider the complex numbers with multiplication defined by taking the complex conjugate of the usual multiplication:

$$a*b=\overline{ab}.$$

This is a commutative, non-associative division algebra of dimension 2 over the reals, and has no unit element. There are infinitely many other non-isomorphic commutative, non-associative, finite-dimensional real divisional algebras, but they all have dimension 2.

In fact, every finite-dimensional real commutative division algebra is either 1 or 2 dimensional. This is known as Hopf's theorem, and was proved in 1940. The proof uses methods from topology. Although a later proof was found using algebraic geometry, no direct algebraic proof is known. The fundamental theorem of algebra is a corollary of Hopf's theorem.

[VAL]

alcoholist в сообщении #507288 писал(а):

(Оффтоп)

Залез в вики. Обнаружил забавные факты (и ведь не знал!):

Цитата:

Over the reals there are (up to isomorphism) only two unitary commutative finite-dimensional division algebras: the reals themselves, and the complex numbers. These are of course both associative. For a non-associative example, consider the complex numbers with multiplication defined by taking the complex conjugate of the usual multiplication:

$$a*b=\overline{ab}.$$

This is a commutative, non-associative division algebra of dimension 2 over the reals, and has no unit element. There are infinitely many other non-isomorphic commutative, non-associative, finite-dimensional real divisional algebras, but they all have dimension 2.

In fact, every finite-dimensional real commutative division algebra is either 1 or 2 dimensional. This is known as Hopf's theorem, and was proved in 1940. The proof uses methods from topology. Although a later proof was found using algebraic geometry, no direct algebraic proof is known. The fundamental theorem of algebra is a corollary of Hopf's theorem.

(Оффтоп)

Странно! Я эти факты знал с детства (студенческого), как теорему Фробениуса. И доказана она в позапрошлом веке. А причем тут Хопф?
Или он условие ассоциативности убрал?

-- 24 ноя 2011, 12:41 --

Naf2000 в сообщении #507279 писал(а):

Можно привести пример такой бинарной операции на некотором множестве, чтобы она удовлетворяла условию коммутативности, но не была ассоциативной?

Еще один пример (точнее, бесконечно много примеров) дают квазигруппы Штейнера.
Вот табличка Кэли для трехэлементной квазигруппы Штейнера:
$\begin{tabular}{|l|c|c|c|} \hline & a & b & c \\ \hline a & a & c & b \\ \hline b & c & b & a \\ \hline c & b & a & c \\ \hline \end{tabular}$
В общем случае квазигруппа Штейнера получается из штейнеровской системы троек (любая пара различных элементов однозначно определяет третий). Такие системы (и, следовательно, квазигруппы) существуют для всех натуральных чисел (больших единицы), сравнимых с 1 или 3 по модулю 6.

[gris]

ужас. Эти операции, как тараканы лезут в голову.
Расстояние, куб суммы, дважды два пять.
Извините, выговорился — полегчало.

[Naf2000]

респект!

[bnovikov]

gris в сообщении #507322 писал(а):

Расстояние, куб суммы, дважды два пять.

Расстояние - это не операция.
Дважды два пять - еще не операция. Вот $m\circ n=mn+1$ - другое дело.

[Joker_vD]

bnovikov в сообщении #507325 писал(а):

Расстояние - это не операция.

Чем это вам модуль разности не операция?

[gris]

$2\times 2=5$ — я имел в виду чуть-чуть подкорректированную операцию умножения на натуральных числах .
Задача же ставилась привести забавные примеры, которые можно описать одним-двумя словами.

[bnovikov]

Joker_vD в сообщении #507330 писал(а):

bnovikov в сообщении #507325 писал(а):

Расстояние - это не операция.

Чем это вам модуль разности не операция?

Только если между числами.

[gris]

bnovikov, вот уж отнюдь. Раcсмотрим 15 равноудалённых на расстояние 1 профессорских кошек и на таком же расстоянии расположим числа 0 и 1. Расстояние будет операцией на объединённом множестве.

[bot]

gris в сообщении #507354 писал(а):

Раcсмотрим 15 равноудалённых на расстояние 1 профессорских кошек

Равноудалённых от профессора?

Коммутативную операцию создать - раз плюнуть. Грубо говоря, пиши любую симметричную матрицу и все дела. Обеспечить ассоциативность на несколько порядков сложнее.

[gris]

Равноудалённых друг от друга. Типа вершин 16-мерного тетраэдра.
Кстати, почему я на дважды два так возбудился.
Короче, Вы попали прямо в больное место. Вот такая задача: на конечном множестве операция задана матрицей. Надо быстренько проверить её ассоциативность. Ведь в случае $2\times 2=5$ и обычном умножении для остальных пар придётся проверять все тройки

[worm2]

Ещё один пример, жизненный: сложение чисел с плавающей точкой в компьютере является коммутативной, но, вообще говоря, не ассоциативной операцией (благодаря округлению). И умножение тоже.

[bot]

gris в сообщении #507365 писал(а):

Надо быстренько проверить её ассоциативность

Без полного перебора троек не обойтись, так что быстренько не получится. Провальная тройка может быть даже единственной, но неуловимой вплоть до завершения полного перебора троек.