Теория вероятностей.

[number_one]

1. Случайная величина $X$ распределена равномерно на отрезке $[-\frac\pi 2;0]$

Найти плотность вероятности случайной величины $Y=\cos X$

Равномерное распределение

$$f_X(x) = \left\{ \begin{matrix} {1 \over b-a}, & x\in [a,b] \\ 0, & x\not\in [a,b] \end{matrix} \right$$

$a=\cos(-\pi/2)=0$

$b=\cos 0 =1$

Правильно ли?

$$f_Y(y) = \left\{ \begin{matrix} {1}, & x\in [0,1] \\ 0, & x\not\in [0,1] \end{matrix} \right$$

2. Дана таблица распределения

$$\begin{array}{|c|c|c|} \hline Y\diagdown X& 1 & 5 \\ \hline 2&1/2&1/8\\ \hline 3&1/4&1/8\\ \hline \end{array}$$

Найти $M(Y|X=x)$

У меня получается так:

$P(X=1)=\frac{1}{2}+\frac14=\frac34$

$P(X=5)=1-\frac34=\frac14$

$M(X|Y=y)=\frac34\cdot 1+\frac14\cdot 5=\frac34+\frac54=2$

Правильно?

[number_one]

Из-за того, что все как-то очень просто - кажется неправильным...

[arseniiv]

$f_Y$ неправильное. Попробуйте пока не трогать $f$ и потрогать лучше $F$. Формулка была.

[ShMaxG]

1. Случайная величина $X$ обладает равномерным распределением. С чего Вы взяли, что и $\cos X$ тоже обладает равномерным распределением? Это не так.

2. Вам надо было найти одно, а Вы нашли другое.

[number_one]

arseniiv в сообщении #507138 писал(а):

$f_Y$ неправильное. Попробуйте пока не трогать $f$ и потрогать лучше $F$. Формулка была.

Спасибо!

$$F_X(x) \equiv \mathbb{P}(X \le x) = \left\{ \begin{matrix} 0, & x < a \\ {x-a \over b-a}, & a \leq x < b \\ 1, & x \ge b \end{matrix} \right$$

Нужно для $X$ записать или для $Y$?

-- 23.11.2011, 22:48 --

ShMaxG в сообщении #507140 писал(а):

1. Случайная величина $X$ обладает равномерным распределением. С чего Вы взяли, что и $\cos X$ тоже обладает равномерным распределением? Это не так.

2. Вам надо было найти одно, а Вы нашли другое.

Спасибо за ответ!

1. А я не знаю, а какое еще оно может быть?

2.

$P(Y=2)=\frac{1}{2}+\frac18=\frac58$

$P(Y=3)=1-\frac58=\frac38$

$M(Y|X=x)=\frac58\cdot 2+\frac38\cdot 3=\frac{19}{8}$

[arseniiv]

number_one в сообщении #507161 писал(а):

Нужно для $X$ записать или для $Y$?

Для $X$ вы уже записали. Правда, лучше бы подставили туда сразу $a$ и $b$ вашего случая.

Поищите формулу $F_Y(Y) = X$, если $X$ равномерно распределена на $[0; 1]$, а $F_Y$ монотонно возрастает. (Надо знать, как она выводится.) Из неё можно найти $F_Y$. Но только осторожно.

number_one в сообщении #507161 писал(а):

А я не знаю, а какое еще оно может быть?

Конечно, не знаете. Найдите плотность вероятности — и узнаете!

[number_one]

$$F_X(x) \equiv \mathbb{P}(X \le x) = \left\{ \begin{matrix} 0, & x < -\frac{\pi}2 \\ {2x+\pi \over \pi}, & -\frac{\pi}2 \leq x < 0 \\ 1, & x \ge 0 \end{matrix} \right$$

-- 23.11.2011, 23:24 --

arseniiv в сообщении #507170 писал(а):

Поищите формулу $F_Y(Y) = X$, если $X$ нормально распределена на $[0; 1]$, а $F_Y$ монотонно возрастает.

А вот это не понятно... У нас же $X$ распределена равномерно, а почему станет нормально? Или вы имели ввиду $Y$ -- нормально? Но -- почему?

[arseniiv]

Извините, спутал слово. Щас поправлю.

-- Чт ноя 24, 2011 02:40:47 --

Кстати, не забудьте, что в формуле не наша $X$. Наша распределена не на $[0; 1]$.

[number_one]

Если какая-то величина $Y$ распределена равномерно на $[0;1]$, то у нее функция распределения должна быть такой:

$$F_Y(y) \equiv \mathbb{P}(Y\le y) = \left\{ \begin{matrix} 0, & y< 0 \\ {y}, & 0 \leq y < 1 \\ 1, & y \ge 1 \end{matrix} \right$$

-- 23.11.2011, 23:55 --

Цитата:

Поищите формулу $F_Y(Y) = X$, если $X$ равномерно распределена на $[0; 1]$

Только все равно пока что не понял эту фразу. Почему функция распределения $Y$ должна быть равна $X$?

[arseniiv]

Не просто функция распределения $Y$. В неё ещё и $Y$ сама подставлена. Вот я и говорю: вывод должен быть. Увы, я не знаю учебников по ТВ, чтобы посоветовать какой-нибудь: тот, по которому доучиваю, я бы вам не посоветовал.

(Оффтоп)

Эх, ночь на дворе…

[number_one]

То есть так?

$$F_Y(y) \equiv \mathbb{P}(Y\le y) = \left\{ \begin{matrix} 0, & y< -\frac{\pi}2 \\ \cos x, & -\frac{\pi}2 \leq x < 0 \\ 1, & x \ge 0 \end{matrix} \right$$

(Оффтоп)

ok!!!Спокойной ночи

[arseniiv]

(Оффтоп)

Голова уже плохо соображает, но, скорее всего, не так, увы. Завтра…

[number_one]

(Оффтоп)

Ок!!!

[--mS--]

Не надо никаких формул искать. Берите и по определению находите функцию распределения $Y$.

[vladiko]

Категорически не хотите заглянуть в учебник . Ладно попробуйте вывести сами. Запишите мат. ожидание для функции $\cos(x)$. Дальше делаем замену переменной $y=\cos(x)$ .Добиваемся что бы подынтегральная функция зависела только от $y$ .Получили выражение для мат. ожидания переменной $Y$, как оттуда извлечь плотность распределения думаю что знаете . И не забываем вычислить область определения при замене переменной.