логарифм - o-малое от любой степени

[samuil]

Доказать, что $\ln x=\operatorname o \left.(\dfrac{1}{x^{\varepsilon}}\right.)$ при $x\to 0$, где $\varepsilon>0$

Можно ли пользоваться правилом Лопиталя или при таких доказательствах нужно действовать иначе?

$$\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\ln x}{1/x^{\varepsilon}}=\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{(\ln x)'}{(1/x^{\varepsilon})'}=...$$

[ewert]

samuil в сообщении #505885 писал(а):

Можно ли пользоваться правилом Лопиталя

Можно. А можно и без лопиталей, просто жонглированием степенями, индукциями и прочим. А ещё лучше (для практических целей) сей факт просто зазубрить -- что логарифм меняется медленнее (во всех разумных смыслах) любой степени, откуда и все пределы. Но тут уж, конечно, всё зависит от того, что начальству приспичит; и этого не предугадать, разумеется, приходится к нему (начальству) прислушиваться.

[samuil]

Ок, спасибо, понятно!