Необычная задача о суммах цифр и степенях

[vivaldi]

Пусть n - натуральное число, а S(n) - сумма его цифр в десятичной записи.
Рассмотрим все числа вида $S(2n^2+3)$
Очевидно, что среди этих чисел нет квадратов (для кого не очевидно могу расписать док-во, но это уровень маткружка начальных классов).
С другой стороны, среди них бесконечно много кубов (например, при $n=4\cdot 10^m$).

А сколько пятых степеней?
А сколько седьмых?
А сколько девятых?
И вообще, для каждого нечетного $k>3$, сколько k-ых степеней?

Вот Ксюша покреативила маленько и нашла весьма оригинальное решение.
Попытайтесь и вы, уважаемые форумчане.

-- 19.11.2011, 10:49 --

Убедительная просьба ЭВМ не использовать!
Фкащенко компов нет, Ксюша всё ручками делала.

[MrDindows]

Без калькулятора не справился(

(Решение)

Число вида $n=999...9995$. Пусть в нём $k$ девяток.
Тогда легко показать, что $S(2n^2+3)=9k+8$. Тоесть мы получим все числа, сравнимые с -1 по модулю 9. Соответственно в этой последовательности будут все нечётные степени числа 8 ( а также других чисел, сравнимых с -1 по модулю 9).
Ещё можно брать числа 999...94

[vivaldi]

MrDindows в сообщении #505374 писал(а):

Без калькулятора не справился(

(Решение)

Число вида $n=999...9995$. Пусть в нём $k$ девяток.
Тогда легко показать, что $S(2n^2+3)=9k+8$. Тоесть мы получим все числа, сравнимые с -1 по модулю 9. Соответственно в этой последовательности будут все нечётные степени числа 8 ( а также других чисел, сравнимых с -1 по модулю 9).
Ещё можно брать числа 999...94

Жаль, что без калькулятора не справились.
Я еще немного подожду, а потом опубликую Ксюшино решение. Она даже калькулятором не воспользовалась. И ничего сверхчеловеческого в ее решении нет.

[svv]

(vivaldi)

vivaldi, Вы не Ксюша ли?

[vivaldi]

svv в сообщении #505381 писал(а):

(vivaldi)

vivaldi, Вы не Ксюша ли?

(Оффтоп)

Ксюша фкащенко У нее депрессняк.
У нее глубокая депрессия и ей очень плохо.

[svv]

(Оффтоп)

Комп в мусорный бак, книги туда же, голову туда же, заняться спортом. Так и передайте.

[vivaldi]

MrDindows в сообщении #505374 писал(а):

Без калькулятора не справился(

(Решение)

Число вида $n=999...9995$. Пусть в нём $k$ девяток.
Тогда легко показать, что $S(2n^2+3)=9k+8$. Тоесть мы получим все числа, сравнимые с -1 по модулю 9. Соответственно в этой последовательности будут все нечётные степени числа 8 ( а также других чисел, сравнимых с -1 по модулю 9).
Ещё можно брать числа 999...94

Короче, у Ксюши похоже, только там числа вида 333...3335 и остаток 2 при делении на 6 (который дает любая степень двойки с нечетным натуральным показателем). Таким образом, 32, 128, 512, ... встретятся.

Без калькулятора можно додуматься, если вспомнить две вещи.
$(*5)^2=(*(*+1))25$ (например, $65^2=(6\cdot (6+1))\cdot 100+25=4225$)
и
333...3333*333...3334=111...111222...222